고2-1 수학 기말 핵심 기출 20제

등차수열과 등차급수

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필수 암기

일반항 : aₙ = a₁ + (n-1)d

합 : Sₙ = n(a₁+aₙ)/2 = n{2a₁+(n-1)d}/2

등차중항 : 2b = a+c

▶ 대표 예제

a₃ = 11, a₇ = 27인 등차수열의 첫째항과 공차를 구하라.

d = (27-11)/(7-3) = 4, a₁ = 11-2×4 = 3

등비수열과 무한등비급수

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필수 암기

일반항 : aₙ = a₁·rⁿ⁻¹

합(r≠1) : Sₙ = a₁(rⁿ-1)/(r-1)

무한등비급수(|r|<1) : S = a₁/(1-r)

▶ 대표 예제

첫째항 2, 공비 3인 등비수열의 S₅는?

S₅ = 2(3⁵-1)/(3-1) = 242

수열의 합(∑)과 수학적 귀납법

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필수 암기

∑k = n(n+1)/2

∑k² = n(n+1)(2n+1)/6

∑k³ = [n(n+1)/2]²

귀납법 순서

① n=1 성립 확인 ② n=k 가정 → n=k+1 증명

지수법칙과 지수함수

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필수 암기

aᵐ·aⁿ = aᵐ⁺ⁿ, (aᵐ)ⁿ = aᵐⁿ

aⁿ/ᴮ = ⁱ√(aⁿ) (a>0)

y=aˣ: a>1 증가, 0<a<1 감소, 점근선 y=0

▶ 대표 예제

4^(3/2) ÷ 8^(1/3) × 2^(-1)의 값은?

= 2³ ÷ 2 × 1/2 = 8÷2×(1/2) = 2

로그의 성질과 로그함수

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필수 암기

logₐMN = logₐM + logₐN

logₐ(M/N) = logₐM - logₐN

logₐMⁿ = n·logₐM

밑변환: logₐb = log b / log a

▶ 대표 예제

log₂ 3 × log₃ 8의 값은?

log₂ 3 × 3log₃ 2 = 3 × (log₂3 × log₃2) = 3×1 = 3

삼각함수 정의 · 공식 · 그래프

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필수 암기

sin²θ + cos²θ = 1

tanθ = sinθ / cosθ

1 + tan²θ = sec²θ

cos 2θ = 1-2sin²θ = 2cos²θ-1

특수각

sin30°=1/2, sin45°=√2/2, sin60°=√3/2

cos30°=√3/2, cos45°=√2/2, cos60°=1/2

y=asin(bx+c): 진폭|a|, 주기 2π/|b|

실전 기출 20제

수열·등차 보통

등차수열 {aₙ}에서 a₃ = 11, a₇ = 27일 때, 첫째항 a₁와 공차 d를 구하면?

① a₁=2, d=4

② a₁=3, d=3

③ a₁=3, d=4

④ a₁=5, d=3

⑤ a₁=4, d=4

► 풀이

a₃ = a₁+2d = 11 … ①

a₇ = a₁+6d = 27 … ②

②−① : 4d = 16 → d = 4

a₁ = 11 − 2×4 = 3

∴ a₁=3, d=4 → 정답 ②

수열·등차 보통

등차수열의 첫째항이 −8, 공차가 3일 때, 처음으로 양수가 되는 항은 제 몇 항인가?

① 제2항

② 제3항

③ 제4항

④ 제5항

⑤ 제6항

► 풀이

aₙ = −8+(n−1)×3 = 3n−11 > 0

3n > 11 → n > 11/3 ≈ 3.67

n은 자연수이므로 n ≥ 4, 최솟값 n=4

∴ 제4항 → 정답 ④

수열·등차합 어려움

등차수열 {aₙ}에서 S₁₀ = 100, S₂₀ = 300일 때, S₃₀의 값은?

① 500

② 550

③ 600

④ 650

⑤ 700

► 풀이

Sₙ = na₁ + n(n−1)d/2 이용

S₁₀ = 10a₁+45d = 100 …①

S₂₀ = 20a₁+190d = 300 …②

②−2×① : 100d = 100 → d=1

① 대입: 10a₁+45=100 → a₁=5.5

S₃₀ = 30×5.5+30×29/2×1 = 165+435 = 600

∴ S₃₀ = 600 → 정답 ④

수열·등비 어려움

등비수열 {aₙ}에서 a₂ = 6, a₅ = 48일 때, 첫째항 a₁의 값은?

① 1

② 2

③ 3

④ 4

⑤ 6

► 풀이

a₅/a₂ = r³ = 48/6 = 8 → r=2

a₂ = a₁·r = a₁×2 = 6 → a₁=3

∴ a₁=3 → 정답 ④

수열(Sₙ→aₙ) 최고난도

조건

수열 {aₙ}이 모든 자연수 n에 대해 Sₙ = n²+2n을 만족

a₁₀의 값은?

① 17

② 19

③ 21

④ 23

⑤ 25

► 풀이

n≥2: aₙ = Sₙ−Sₙ₋¹ = (n²+2n)−((n−1)²+2(n−1))

= n²+2n − (n²−2n+1+2n−2) = n²+2n−n²+1 = 2n+1

n=1: a₁=S₁=3=2×1+1=3 ✓ (공식 성립)

a₁₀ = 2×10+1 = 21

∴ 21 → 정답 ④

수열·∑ 어려움

∑ (k=1~n)(3k²−k)을 n으로 나타낸 것은?

① n(n+1)(2n+1)/2

② n²(n+1)

③ n(n+1)(2n−1)/2

④ n(n+1)(n+2)/6

⑤ n²(n+2)

► 풀이

3∑k² − ∑k = 3·n(n+1)(2n+1)/6 − n(n+1)/2

= n(n+1)(2n+1)/2 − n(n+1)/2

= n(n+1)/2 × [(2n+1)−1] = n(n+1)/2 × 2n = n²(n+1)

∴ n²(n+1) → 정답 ②

무한등비급수 최고난도

무한등비급수 1+r+r²+r³+…의 합이 4일 때, 공비 r의 값은?

① 1/4

② 1/2

③ 3/4

④ 2/3

⑤ 4/5

► 풀이

|r|<1 조건 하에 S = 1/(1−r) = 4

1−r = 1/4 → r = 3/4

|3/4|<1 ✓ (수렴 조건 성립)

∴ r = 3/4 → 정답 ④

수열·점화식 최고난도

조건

수열 {aₙ}이 a₁=1, aₙ₊¹=aₙ+2n을 만족

a₅의 값은?

① 15

② 17

③ 19

④ 21

⑤ 23

► 풀이

a₁=1, a₂=1+2=3, a₃=3+4=7, a₄=7+6=13, a₅=13+8=21

검증: aₙ = 1+∑(k=1~n-1)2k = 1+(n-1)n = n²−n+1

a₅ = 25−5+1 = 21 ✓

∴ a₅=21 → 정답 ⑤

지수법칙 보통

4^(3/2) ÷ 8^(1/3) × 2^(−1)의 값은?

① 2

② 4

③ 8

④ 1

⑤ 1/2

► 풀이

4^(3/2) = (2²)^(3/2) = 2³ = 8

8^(1/3) = (2³)^(1/3) = 2¹ = 2

2^(−1) = 1/2

= 8 ÷ 2 × 1/2 = 4 × 1/2 = 2

∴ 2 → 정답 ①

지수방정식 어려움

방정식 4ˣ − 6·2ˣ + 8 = 0의 두 실수 근의 합은?

① 1

② 2

③ 3

④ 4

⑤ log₂6

► 풀이

t=2ˣ (t>0)으로 치환: t²−6t+8=0

(t−2)(t−4)=0 → t=2 또는 t=4

2ˣ=2 → x=1, 2ˣ=4 → x=2

두 근의 합 = 1+2 = 3

∴ 3 → 정답 ④

지수부등식 최고난도

부등식 (1/3)^(2x−1) < 3^(x+2)를 만족시키는 정수 x의 최솟값은?

① −2

② −1

③ 0

④ 1

⑤ 2

► 풀이

(1/3)^(2x−1) = 3^(−(2x−1)) = 3^(1−2x)

3^(1−2x) < 3^(x+2)

밑 3>1이므로 지수 비교: 1−2x < x+2

−3x < 1 → x > −1/3

정수 중 가장 작은 것: x=0

∴ 최솟값=0 → 정답 ④

로그 성질 보통

log₂ 3 = a일 때, log₂ 12를 a로 나타내면?

① a+1

② 2a

③ a+2

④ 2a+1

⑤ 3a

► 풀이

12 = 4×3 = 2²×3

log₂ 12 = log₂ 4 + log₂ 3 = 2+a

∴ a+2 → 정답 ④

로그방정식 어려움

방정식 log₂(x−1) + log₂(x+2) = 2의 실수 해는?

① x=−3

② x=1

③ x=2

④ x=3

⑤ x=4

► 풀이

진수 조건: x−1>0, x+2>0 → x>1

log₂[(x−1)(x+2)] = 2 → (x−1)(x+2) = 4

x²+x−6=0 → (x+3)(x−2)=0 → x=−3 또는 x=2

진수 조건 x>1에 의해 x=2만 유효

∴ x=2 → 정답 ④

로그 성질 최고난도

조건

log₃ 2=a, log₃ 5=b

log₃ 450을 a, b로 나타내면?

① a+b+2

② 2a+b+1

③ a+2b+2

④ 2a+2b+1

⑤ a+b+3

► 풀이

450 = 2×9×25 = 2×3²×5²

log₃ 450 = log₃ 2 + log₃ 3² + log₃ 5²

= a + 2 + 2b

∴ a+2b+2 → 정답 ④

삼각함수 보통

sinθ = 5/13 (단, 0<θ<π/2)일 때, cosθ의 값은?

① 5/13

② 8/13

③ 12/13

④ 13/12

⑤ 5/12

► 풀이

sin²θ+cos²θ=1 이용

cos²θ = 1−(5/13)² = 1−25/169 = 144/169

0<θ<π/2 이므로 cosθ>0

cosθ = 12/13

∴ 12/13 → 정답 ④

삼각함수 어려움

tanθ = 2일 때, (sinθ+cosθ)²의 값은?

① 1

② 5/4

③ 9/5

④ 7/5

⑤ 2

► 풀이

(sinθ+cosθ)² = 1 + 2sinθcosθ

tanθ=2 이면 sinθ=2cosθ

sin²θ+cos²θ=1 → 4cos²θ+cos²θ=1 → cos²θ=1/5

sinθcosθ = 2cos²θ = 2/5

(sinθ+cosθ)² = 1+2×(2/5) = 1+4/5 = 9/5

∴ 9/5 → 정답 ④

삼각함수 그래프 어려움

함수 y = 3sin(2x+π/6)의 최댓값을 M, 주기를 T라 할 때, M+T의 값은?

① 3+2π

② 3+π

③ 6+π

④ 6+2π

⑤ 3+π/2

► 풀이

y=asin(bx+c): 진폭=|a|, 주기=2π/|b|

최댓값 M = |3| = 3

주기 T = 2π/|2| = π

M+T = 3+π

∴ 3+π → 정답 ②

삼각방정식 최고난도

범위

0 ≤ x ≤ 2π

방정식 2sin²x − sinx − 1 = 0의 모든 실수 해의 합은?

① 2π

② 5π/2

③ 7π/2

④ 3π

⑤ 4π

► 풀이

t=sinx로 치환: 2t²−t−1=0 → (2t+1)(t−1)=0

t=−1/2 또는 t=1

sinx=1: x=π/2

sinx=−1/2: x=7π/6, x=11π/6 (0≤x≤2π)

합 = π/2 + 7π/6 + 11π/6 = 3π/6 + 7π/6 + 11π/6 = 21π/6 = 7π/2

∴ 7π/2 → 정답 ④

삼각함수 공식 최고난도

sinθ + cosθ = √2/2일 때, sinθ·cosθ의 값은?

① 1/4

② −3/4

③ −1/4

④ 1/2

⑤ 3/4

► 풀이

(sinθ+cosθ)² = sin²θ+2sinθcosθ+cos²θ = 1+2sinθcosθ

(√2/2)² = 2/4 = 1/2

1+2sinθcosθ = 1/2 → 2sinθcosθ = −1/2

sinθcosθ = −1/4

∴ −1/4 → 정답 ④

이중각 공식 최고난도

조건

π/2 < θ < π

cos 2θ = 7/25일 때, sinθ의 값은?

① 3/5

② 4/5

③ −3/5

④ −4/5

⑤ 5/13

► 풀이

cos 2θ = 1−2sin²θ = 7/25

2sin²θ = 1−7/25 = 18/25

sin²θ = 9/25

π/2<θ<π 이면 sinθ>0

sinθ = 3/5

∴ sinθ=3/5 → 정답 ①