📐 고2 수학 기말고사

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고2 수학 기말고사
핵심 기출 20선

수열 · 극한과 미분 · 적분
개념 요약 → 예제 → 실전 문제 → 해설

✍ 객관식 20문항 ⌛ 50분 📄 즉시 채점 🎉 정답 폭죽
UNIT 1 수열
핵심 개념 & 공식 암기

📋 등차수열

공차 d인 등차수열: \(a_n = a_1 + (n-1)d\)

\(S_n = \dfrac{n}{2}\{2a_1 + (n-1)d\} = \dfrac{n(a_1+a_n)}{2}\)

📋 등비수열

공비 r인 등비수열: \(a_n = a_1 \cdot r^{n-1}\)

\(S_n = \dfrac{a_1(r^n - 1)}{r-1} \;\;(r \neq 1)\)

📋 시그마 공식

\(\sum_{k=1}^{n}k = \dfrac{n(n+1)}{2},\quad \sum_{k=1}^{n}k^2 = \dfrac{n(n+1)(2n+1)}{6}\)
🌟 EXAMPLE
등차수열 \(\{a_n\}\)에서 \(a_1=2,\; a_4=11\)일 때 공차를 구하시오.
✓ \(d = \dfrac{11-2}{4-1} = \dfrac{9}{3} = 3\)
01 난이도 ★ 등차수열
등차수열 \(\{a_n\}\)에서 \(a_1 = 3,\; a_5 = 19\)일 때, 공차 \(d\)의 값은?
①2
②4
③6
④8
⑤10
02 난이도 ★★ 등비수열
등비수열 \(\{b_n\}\)에서 \(b_1 = 2,\; b_4 = 54\)일 때, 공비 \(r\)의 값은?
①2
②\(\sqrt{6}\)
③3
④4
⑤6
03 난이도 ★★ 시그마
\(\displaystyle\sum_{k=1}^{10}(2k+1)\)의 값은?
①90
②100
③110
④120
⑤130
04 난이도 ★ 시그마
\(\displaystyle\sum_{k=1}^{20}k\)의 값은?
①190
②210
③220
④240
⑤260
05 난이도 ★★ 점화식
수열 \(\{a_n\}\)이 \(a_1 = 2,\; a_{n+1} = a_n + 3\)을 만족할 때, \(a_{10}\)의 값은?
①23
②26
③29
④32
⑤35
14 난이도 ★★ 등차수열 합
첫째항이 \(1\), 공차가 \(3\)인 등차수열의 첫째항부터 제\(10\)항까지의 합 \(S_{10}\)은?
①130
②145
③150
④160
⑤175
15 난이도 ★★ 등비수열 합
첫째항이 \(2\), 공비가 \(3\)인 등비수열의 첫째항부터 제\(5\)항까지의 합 \(S_5\)는?
①120
②180
③220
④242
⑤280
20 난이도 ★★★ 시그마 제곱
\(\displaystyle\sum_{k=1}^{10}k^2\)의 값은?
①330
②385
③400
④420
⑤440
UNIT 2 극한과 미분
핵심 개념 & 공식 암기

📋 함수의 극한

\(\dfrac{0}{0}\) 꼴: 인수분해 또는 유리화 후 약분

\(\lim_{x\to 0}\dfrac{\sin x}{x} = 1 \;\Rightarrow\; \lim_{x\to 0}\dfrac{\sin(ax)}{x} = a\)

📋 미분 공식

\((x^n)' = nx^{n-1},\quad (cf)' = cf',\quad (f \pm g)' = f' \pm g'\)

📋 극값 판정

\(f'(a)=0\)이고 \(f'\)의 부호가 \(+\to-\): 극대, \(-\to+\): 극소

📋 접선의 방정식

\(x=a\)에서 접선: \(y = f'(a)(x-a) + f(a)\)
🌟 EXAMPLE
\(\displaystyle\lim_{x\to 3}\dfrac{x^2-9}{x-3}\)의 값을 구하시오.
✓ \(\dfrac{(x+3)(x-3)}{x-3} = x+3 \xrightarrow{x\to 3} 6\)
06 난이도 ★ 함수의 극한
\(\displaystyle\lim_{x\to 2}\dfrac{x^2-4}{x-2}\)의 값은?
①4
②2
③0
④6
⑤8
07 난이도 ★★ 도함수
\(f(x) = x^3 - 3x^2 + 2\)일 때, \(f'(1)\)의 값은?
①0
②-3
③3
④-6
⑤6
08 난이도 ★★ 접선의 방정식
곡선 \(f(x) = x^2 + 2x\) 위의 점 \((1,\, 3)\)에서의 접선의 기울기는?
①2
②3
③4
④5
⑤6
09 난이도 ★★★ 극값
\(f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x + 1\)의 극솟값은?
①1
②3
③5
④7
⑤9
16 난이도 ★★ 삼각함수 극한
\(\displaystyle\lim_{x\to 0}\dfrac{\sin 3x}{x}\)의 값은?
①1
②\(\dfrac{1}{3}\)
③3
④0
⑤9
17 난이도 ★★★ 사차함수 극값
\(f(x) = x^4 - 4x^2\)의 극솟값은?
①0
②-4
③-2
④2
⑤4
UNIT 3 적분
핵심 개념 & 공식 암기

📋 부정적분

\(\int x^n\,dx = \dfrac{x^{n+1}}{n+1} + C \;\;(n\neq -1)\)

📋 정적분

\(\int_a^b f(x)\,dx = \Big[F(x)\Big]_a^b = F(b)-F(a)\)

📋 넓이

곡선과 \(x\)축 사이의 넓이: \(\displaystyle S = \int_a^b |f(x)|\,dx\)

두 곡선 사이의 넓이: \(\displaystyle S = \int_a^b |f(x)-g(x)|\,dx\)

📋 속도와 거리

\(\text{이동거리} = \int_a^b |v(t)|\,dt\)
🌟 EXAMPLE
\(\displaystyle\int(2x+3)\,dx\)를 구하시오.
✓ \(x^2 + 3x + C\)
10 난이도 ★ 부정적분
\(\displaystyle\int(3x^2 + 2x)\,dx\)를 구하면? (단, \(C\)는 적분 상수)
①\(x^3 + 2x + C\)
②\(x^3 + x^2 + C\)
③\(3x^3 + x^2 + C\)
④\(6x + 2 + C\)
⑤\(x^3 + x^2\)
11 난이도 ★★ 정적분
\(\displaystyle\int_0^2(x^2+1)\,dx\)의 값은?
①\(\dfrac{8}{3}\)
②4
③\(\dfrac{10}{3}\)
④\(\dfrac{14}{3}\)
⑤\(\dfrac{16}{3}\)
12 난이도 ★★★ 곡선과 x축 사이 넓이
곡선 \(y = x^2 - x\)와 \(x\)축 사이의 \(0 \le x \le 1\) 구간에서의 넓이는?
①\(\dfrac{1}{6}\)
②\(\dfrac{1}{4}\)
③\(\dfrac{1}{3}\)
④\(\dfrac{1}{2}\)
⑤\(\dfrac{2}{3}\)
13 난이도 ★★★ 속도와 거리
수직선 위를 움직이는 점 P의 속도가 \(v(t) = 3t^2 - 12t + 9\)일 때, \(t=0\)에서 \(t=3\)까지의 이동 거리는?
①0
②4
③8
④12
⑤16
18 난이도 ★ 정적분 계산
\(\displaystyle\int_1^3(2x+1)\,dx\)의 값은?
①8
②9
③10
④11
⑤12
19 난이도 ★★★ 두 곡선 사이 넓이
두 곡선 \(y = x^2\)과 \(y = x + 2\)로 둘러싸인 도형의 넓이는?
①\(\dfrac{7}{2}\)
②4
③\(\dfrac{9}{2}\)
④5
⑤\(\dfrac{11}{2}\)
Final Score
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📄 정답 및 풀이 해설

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