고1 수학 기말고사 실전 문제집

Unit 01

다항식의 연산

📐 핵심 공식

(a+b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³
(a-b)³ = a³ - 3a²b + 3ab² - b³
(a+b)(a²-ab+b²) = a³ + b³
(a-b)(a²+ab+b²) = a³ - b³
(a+b+c)² = a²+b²+c²+2ab+2bc+2ca

⭐ 반드시 암기

다항식 나눗셈: A = B·Q + R (나누어지는식 = 나누는식×몫 + 나머지)
R의 차수 < B의 차수 (나머지의 차수는 반드시 나누는 식의 차수보다 작아야 함)
조립제법: 일차식으로 나눌 때 계수를 이용한 빠른 계산법

✏️ 예제

x³+2x²-x+3을 x-1로 나눌 때 나머지를 구하여라.

조립제법: 1 | 1 2 -1 3
| 1 3 2
1 3 2 [5] → 나머지 = 5

Unit 02

나머지정리와 인수정리

📐 핵심 공식

나머지정리: f(x)를 (x-a)로 나눈 나머지 = f(a)
인수정리: f(a)=0 ⟺ f(x)는 (x-a)를 인수로 가짐
f(x)를 (x-a)(x-b)로 나눈 나머지: R = px + q
→ f(a) = pa+q, f(b) = pb+q

⭐ 반드시 암기

나머지정리: f(x) ÷ (x-a) → 나머지는 f(a) 대입!
인수정리: f(a)=0이면 (x-a)가 인수
이차식으로 나눌 때: 나머지는 일차 이하 → R=px+q로 놓고 연립

✏️ 예제

f(x)=x³-2x+5를 (x+1)로 나눈 나머지는?

f(-1) = (-1)³-2(-1)+5 = -1+2+5 = 6

Unit 03

인수분해

📐 핵심 공식

a²-b² = (a+b)(a-b)
a²+2ab+b² = (a+b)², a²-2ab+b² = (a-b)²
a³+b³ = (a+b)(a²-ab+b²)
a³-b³ = (a-b)(a²+ab+b²)
acx²+(ad+bc)x+bd = (ax+b)(cx+d)

⭐ 반드시 암기

공통인수 먼저 묶기 → 나머지 인수분해
치환: 복잡한 식은 한 부분을 t로 놓기
인수정리 활용: 고차식은 f(1),f(-1),f(2) 등 시도

✏️ 예제

x³-6x²+11x-6을 인수분해하여라.

f(1)=1-6+11-6=0 → (x-1) 인수
조립제법 후: (x-1)(x-2)(x-3)

Unit 04

복소수와 이차방정식

📐 핵심 공식

i = √(-1), i² = -1, i³ = -i, i⁴ = 1
복소수: a+bi (a,b는 실수)
(a+bi)(a-bi) = a²+b²
판별식 D = b²-4ac
D>0: 서로 다른 두 실근
D=0: 중근(같은 두 실근)
D<0: 서로 다른 두 허근
근과 계수의 관계: α+β = -b/a, αβ = c/a

⭐ 반드시 암기

i의 거듭제곱은 4주기: i¹=i, i²=-1, i³=-i, i⁴=1
판별식 D=b²-4ac의 부호로 근의 종류 결정
근과 계수 관계: 합=-b/a, 곱=c/a

✏️ 예제

x²-3x+k=0이 중근을 가질 때 k의 값은?

D=(-3)²-4k=0 → 9-4k=0 → k = 9/4

Unit 05

이차방정식과 이차함수 / 부등식

📐 핵심 공식

이차부등식 ax²+bx+c > 0의 풀이:
- a>0, D>0, 두 근 α<β: α<x<β (중간), x<α 또는 x>β (양 끝)
- a>0, D=0: 중근 α → x≠α인 모든 실수 (≥), 해 없음 (>)
연립부등식: 각각 풀고 교집합
절댓값 부등식: |x|<a ↔ -a<x<a (a>0)

⭐ 반드시 암기

이차부등식: 그래프(포물선) 모양으로 생각하면 쉬움
a>0, ax²+bx+c>0이면 두 근 밖(양 끝)이 해
a>0, ax²+bx+c<0이면 두 근 사이(중간)가 해
|x-a|<b ↔ a-b<x<a+b

✏️ 예제

x²-5x+6 < 0을 풀어라.

(x-2)(x-3)<0 → 2<x<3

문제 풀기 진행률 0 / 20

단원 01 · 다항식 연산

다항식 f(x)=2x³−3x²+ax+b를 x−1로 나누면 나머지가 4이고, x+1로 나누면 나머지가 −2이다. 이때 a+b의 값은?

①
3
②
4
③
5
④
6
⑤
7

✅ 풀이

나머지정리: f(1)=2−3+a+b=4 → a+b=5 ···①

나머지정리: f(−1)=−2−3−a+b=−2 → −a+b=3 ···②

①−②: 2a=2 → a=1

①에 대입: b=4

∴ a+b = 1+4 = 5 【정답 ③】

단원 01 · 다항식 연산

(x+1)¹⁰을 전개했을 때 x³의 계수는?

①
84
②
100
③
110
④
120
⑤
126

✅ 풀이

이항정리: (x+1)¹⁰의 일반항 = ₁₀Cₖ · x^k · 1^(10-k)

x³의 계수: k=3일 때 ₁₀C₃ = (10×9×8)/(3×2×1) = 120

∴ x³의 계수 = 120 【정답 ④】

단원 02 · 나머지정리

다항식 f(x)를 (x−1)(x−2)로 나누었을 때 나머지가 3x+1이다. f(x)를 x−1로 나눈 나머지는?

①
2
②
3
③
4
④
5
⑤
6

✅ 풀이

f(x) = (x-1)(x-2)·Q(x) + 3x+1

f(x)를 (x-1)로 나눈 나머지 = f(1)

f(1) = 3(1)+1 = 4

∴ 나머지 = 4 【정답 ③】

단원 02 · 나머지정리

다항식 f(x)를 x²−3x+2로 나눈 나머지가 ax+b이다. f(1)=5, f(2)=3일 때, a의 값은?

①
−4
②
−3
③
−2
④
−1
⑤
0

✅ 풀이

x²-3x+2 = (x-1)(x-2) → 나머지 차수 < 2 → 나머지 = ax+b

f(x) = (x-1)(x-2)·Q(x) + ax+b

f(1) = a+b = 5 ···①

f(2) = 2a+b = 3 ···②

②-①: a = 3-5 = -2

①에서: b = 5-a = 5-(-2) = 7

∴ a = -2 【정답 ③】

단원 03 · 인수분해

x³+3x²−4를 인수분해하면?

①
(x−1)(x²+4x+4)
②
(x+2)(x²+x−2)
③
(x−1)(x+2)²
④
(x+1)(x−2)²
⑤
(x+1)(x+2)(x−2)

✅ 풀이

f(x)=x³+3x²-4. f(1)=1+3-4=0 → (x-1)이 인수

조립제법: 1 | 1 3 0 -4
| 1 4 4
1 4 4 [0]

→ f(x) = (x-1)(x²+4x+4) = (x-1)(x+2)²

∴ (x−1)(x+2)² 【정답 ③】

단원 03 · 인수분해

x⁴−1을 실수 범위에서 완전히 인수분해하면?

①
(x²+1)(x+1)(x−1)
②
(x²−1)²
③
(x+1)²(x−1)²
④
(x²+1)²
⑤
(x+1)(x−1)(x²−x+1)

✅ 풀이

x⁴-1 = (x²)²-1² = (x²+1)(x²-1)

= (x²+1)(x+1)(x-1)

실수 범위에서 x²+1은 더 이상 인수분해 불가

∴ (x²+1)(x+1)(x−1) 【정답 ①】

단원 04 · 복소수

i²⁰²³의 값은? (단, i=√(−1))

①
1
②
−1
③
i
④
−i
⑤
2i

✅ 풀이

i의 거듭제곱은 4주기: i¹=i, i²=-1, i³=-i, i⁴=1

2023 ÷ 4 = 505 나머지 3

∴ i²⁰²³ = i³ = -i

∴ i²⁰²³ = −i 【정답 ④】

단원 04 · 복소수

복소수 z=2+3i에 대하여 z+z̄의 값은? (단, z̄는 z의 켤레복소수)

①
2
②
3
③
4
④
5
⑤
6

✅ 풀이

z = 2+3i이면 켤레복소수 z̄ = 2-3i

z+z̄ = (2+3i)+(2-3i) = 4

※ 일반적으로 z=a+bi이면 z+z̄=2a (실수부의 2배)

∴ z+z̄ = 4 【정답 ③】

단원 04 · 이차방정식

이차방정식 x²−5x+3=0의 두 근을 α, β라 할 때, α²+β²의 값은?

①
15
②
17
③
19
④
21
⑤
23

✅ 풀이

근과 계수의 관계: α+β = 5, αβ = 3

α²+β² = (α+β)²-2αβ = 5²-2×3 = 25-6 = 19

∴ α²+β² = 19 【정답 ③】

단원 04 · 이차방정식

x에 대한 이차방정식 x²−2kx+k+6=0이 서로 다른 두 실근을 가질 때, 양수인 정수 k의 최솟값은?

①
1
②
2
③
3
④
4
⑤
5

✅ 풀이

서로 다른 두 실근 조건: D > 0

D/4 = k² - (k+6) > 0

k² - k - 6 > 0

(k-3)(k+2) > 0

∴ k < -2 또는 k > 3

양수인 정수 k: k > 3이어야 하므로 최솟값 = 4

∴ 양수 정수 k의 최솟값 = 4 【정답 ④】

단원 04 · 이차방정식

이차방정식 x²+px+q=0의 두 근이 α, β일 때, α²와 β²을 두 근으로 하는 이차방정식이 x²−7x+1=0이다. 이때 p²−2q의 값은?

①
5
②
6
③
7
④
8
⑤
9

✅ 풀이

원래 방정식: α+β=-p, αβ=q

α²+β²=7, α²β²=1

α²+β²=(α+β)²-2αβ = p²-2q = 7

∴ p²-2q = 7 【정답 ③】

단원 04 · 고차방정식

방정식 x³−x²−4x+4=0의 세 근의 합은?

①
−1
②
0
③
1
④
2
⑤
4

✅ 풀이

x³-x²-4x+4=0 인수분해

= x²(x-1)-4(x-1) = (x-1)(x²-4) = (x-1)(x+2)(x-2)

세 근: x=1, x=2, x=-2

세 근의 합 = 1+2+(-2) = 1

※ 또는 비에타 공식: 최고차항 계수=1, x²항 계수=-1 → 세 근의 합 = -(-1)/1 = 1

∴ 세 근의 합 = 1 【정답 ③】

단원 04 · 연립방정식

연립방정식 { x+y=3, xy=1 }을 풀 때, x²+y²의 값은?

①
5
②
6
③
7
④
8
⑤
9

✅ 풀이

x²+y² = (x+y)²-2xy = 3²-2×1 = 9-2 = 7

∴ x²+y² = 7 【정답 ③】

단원 05 · 이차부등식

부등식 x²−x−6 ≤ 0의 해는?

①
x ≤ −2 또는 x ≥ 3
②
−3 ≤ x ≤ 2
③
−2 ≤ x ≤ 3
④
x < −2 또는 x > 3
⑤
2 ≤ x ≤ 3

✅ 풀이

x²-x-6 ≤ 0 → (x+2)(x-3) ≤ 0

a>0, 이차식 ≤ 0 → 두 근 사이(등호 포함)

두 근: x=-2, x=3

∴ -2 ≤ x ≤ 3 【정답 ③】

단원 05 · 연립부등식

연립부등식 { 2x−3 < 5, x²−4 > 0 }의 해는?

①
x < −2
②
−2 < x < 4
③
2 < x < 4
④
x < −2 또는 2 < x < 4
⑤
x < 2 또는 x > 4

✅ 풀이

① 2x-3<5 → 2x<8 → x<4

② x²-4>0 → (x+2)(x-2)>0 → x<-2 또는 x>2

교집합: x<4 AND (x<-2 또는 x>2)

= (x<-2) 또는 (2<x<4)

∴ x < -2 또는 2 < x < 4 【정답 ④】

단원 05 · 이차부등식

이차부등식 x²−(a+1)x+a < 0의 해가 1 < x < 3일 때, a의 값은?

①
1
②
2
③
3
④
4
⑤
5

✅ 풀이

해가 1<x<3이면 두 근이 1과 3

a>0인 이차식에서 (x-1)(x-3)<0의 해 = 1<x<3

x²-4x+3 < 0

주어진 식: x²-(a+1)x+a < 0과 비교

-(a+1) = -4 → a+1=4 → a=3

a=3: 상수항 a=3 ✓

∴ a = 3 【정답 ③】

단원 03 · 인수분해 응용

a+b+c=0일 때, a³+b³+c³의 값은?

①
0
②
abc
③
2abc
④
3abc
⑤
6abc

✅ 풀이

항등식: a³+b³+c³-3abc = (a+b+c)(a²+b²+c²-ab-bc-ca)

a+b+c=0이면 우변=0

∴ a³+b³+c³ = 3abc

∴ a³+b³+c³ = 3abc 【정답 ④】

단원 02 · 나머지정리 심화

다항식 P(x)가 (x−1)²으로 나누어떨어진다. P(x)를 x−1로 나눈 나머지를 R₁, x+1로 나눈 나머지를 R₂라 할 때, R₁+R₂는?

①
0
②
P(−1)
③
2P(−1)
④
P(1)+P(−1)
⑤
P(1)−P(−1)

✅ 풀이

P(x)가 (x-1)²으로 나누어떨어짐 → P(1)=0

나머지정리: R₁=P(1)=0

R₂=P(-1)

R₁+R₂ = 0+P(-1) = P(-1)

∴ R₁+R₂ = P(−1) 【정답 ②】

단원 04 · 이차방정식 응용

이차방정식 x²+2x−1=0의 두 근을 α, β라 할 때, (α−β)²의 값은?

①
4
②
6
③
8
④
10
⑤
12

✅ 풀이

근과 계수의 관계: α+β=-2, αβ=-1

(α-β)² = (α+β)²-4αβ = (-2)²-4×(-1) = 4+4 = 8

∴ (α-β)² = 8 【정답 ③】

단원 05 · 부등식 종합

절댓값 부등식 |2x−1| ≤ 3의 해는?

①
x ≤ −1 또는 x ≥ 2
②
−1 ≤ x ≤ 2
③
−1 < x < 2
④
0 ≤ x ≤ 2
⑤
x < −1 또는 x > 2

✅ 풀이

|2x-1| ≤ 3

-3 ≤ 2x-1 ≤ 3

-3+1 ≤ 2x ≤ 3+1

-2 ≤ 2x ≤ 4

-1 ≤ x ≤ 2

∴ -1 ≤ x ≤ 2 【정답 ②】

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📋 정답표

문1

③

문2

④

문3

③

문4

③

문5

③

문6

①

문7

④

문8

③

문9

③

문10

④

문11

③

문12

③

문13

③

문14

③

문15

④

문16

③

문17

④

문18

②

문19

③

문20

②

나머지정리 연립 적용

나머지정리: f(1)=2-3+a+b=4 → a+b=5

나머지정리: f(-1)=-2-3-a+b=-2 → -a+b=3

연립: a=1, b=4

a+b = 5 【③】

이항정리

(x+1)¹⁰의 x³ 계수 = ₁₀C₃ = 10!/(3!7!) = 120

120 【④】

나머지정리 활용

f(x)=(x-1)(x-2)Q(x)+3x+1

f(x)를 (x-1)로 나눈 나머지 = f(1) = 3+1 = 4

나머지 = 4 【③】

이차식으로 나눌 때 나머지

x²-3x+2=(x-1)(x-2), 나머지=ax+b

f(1)=a+b=5 ···①, f(2)=2a+b=3 ···②

②-①: a = -2

a = -2 【③】

인수정리+조립제법

f(1)=0 → (x-1)인수. 조립제법으로 x²+4x+4 나옴

x³+3x²-4 = (x-1)(x+2)²

(x-1)(x+2)² 【③】

실수 범위 인수분해

x⁴-1 = (x²+1)(x²-1) = (x²+1)(x+1)(x-1)

실수 범위에서 x²+1은 인수분해 불가

(x²+1)(x+1)(x-1) 【①】

i의 거듭제곱 4주기

2023÷4=505 나머지 3 → i²⁰²³=i³=-i

-i 【④】

켤레복소수의 합

z=2+3i, z̄=2-3i → z+z̄=4 (허수부 소거)

4 【③】

근과 계수의 관계 응용

α+β=5, αβ=3

α²+β²=(α+β)²-2αβ=25-6=19

19 【③】

판별식과 실근 조건

D/4=k²-(k+6)>0 → k²-k-6>0 → (k-3)(k+2)>0

k<-2 또는 k>3. 양수인 정수 k는 k>3에서 최솟값 = 4

양수 정수 k의 최솟값 = 4 【④】

근과 계수 + 새 방정식

α²+β²=(α+β)²-2αβ=p²-2q=7 (새 방정식의 두 근의 합)

p²-2q = 7 【③】

고차방정식 인수분해

x³-x²-4x+4=x²(x-1)-4(x-1)=(x-1)(x²-4)=(x-1)(x+2)(x-2)

세 근: 1, 2, -2 → 합=1

1 【③】

연립방정식과 대칭식

x²+y²=(x+y)²-2xy=9-2=7

7 【③】

이차부등식의 해

(x+2)(x-3)≤0 → -2≤x≤3

-2 ≤ x ≤ 3 【③】

연립부등식의 해

x<4 AND (x<-2 또는 x>2) → x<-2 또는 2

x < -2 또는 2 < x < 4 【④】

이차부등식 역추론

해가 1

x²-(a+1)x+a=x²-4x+3 → a+1=4 → a=3

a = 3 【③】

항등식 a³+b³+c³

a³+b³+c³-3abc=(a+b+c)(a²+b²+c²-ab-bc-ca)

a+b+c=0 → a³+b³+c³=3abc

3abc 【④】

나머지정리 심화

P(x)가 (x-1)²으로 나누어떨어지면 P(1)=0 → R₁=0

R₂=P(-1) → R₁+R₂=P(-1)

P(-1) 【②】

(α-β)² 계산

α+β=-2, αβ=-1

(α-β)²=(α+β)²-4αβ=4+4=8

8 【③】

절댓값 부등식

|2x-1|≤3 → -3≤2x-1≤3 → -2≤2x≤4 → -1≤x≤2

-1 ≤ x ≤ 2 【②】

고1 수학 기말고사핵심 기출 20선

다항식의 연산

나머지정리와 인수정리

인수분해

복소수와 이차방정식

이차방정식과 이차함수 / 부등식

고1 수학 기말고사
핵심 기출 20선