고1 · 1학기 기말고사 대비

수학 기출 핵심문제 20선

다항식 · 방정식 · 부등식 · 집합과 명제 · 함수

20총 문항
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1
다항식의 연산
▸ 핵심 공식
(a+b)² = a² + 2ab + b²
(a-b)² = a² - 2ab + b²
(a+b)(a-b) = a² - b²
(a+b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³
(a-b)³ = a³ - 3a²b + 3ab² - b³
a³+b³ = (a+b)(a²-ab+b²)
a³-b³ = (a-b)(a²+ab+b²)
곱셈공식 유도: (a+b)³ = (a+b)(a+b)² 로 전개, (a+b)(a²-ab+b²) 직접 전개로 인수분해 역산 가능
예제
x + y = 3, xy = 1일 때, x³ + y³의 값은?
풀이 : x³+y³ = (x+y)³ - 3xy(x+y) = 27 - 3×1×3 = 18
2
나머지 정리 · 인수정리
▸ 핵심 공식
다항식 f(x)를 (x-a)로 나눈 나머지 = f(a)
f(a) = 0 ⟺ (x-a)는 f(x)의 인수
조립제법: ax³+bx²+cx+d를 (x-k)로 나눌 때 사용
나머지정리 핵심: x = a 를 직접 대입 / 인수정리: 나머지가 0이면 인수
예제
f(x) = x³ - 2x + 1을 (x-1)로 나눈 나머지는?
f(1) = 1 - 2 + 1 = 0
3
방정식 (이차·고차·연립)
▸ 이차방정식 판별식
ax²+bx+c=0의 판별식 D = b²-4ac
D>0 : 서로 다른 두 실근 / D=0 : 중근 / D<0 : 허근
근의 공식: x = (-b ± √D) / 2a
근과 계수 관계: α+β = -b/a, αβ = c/a
판별식 부호만 확인하면 근의 종류 결정, 근과 계수는 Vieta 공식
예제
x²-5x+6=0의 두 근의 합과 곱은?
합 = 5, 곱 = 6 (근과 계수 관계) → 실제 풀면 x=2, x=3
4
부등식
▸ 이차부등식 풀이 원리
ax²+bx+c > 0 : D > 0, 두 근 α<β일 때 x<α 또는 x>β
ax²+bx+c < 0 : α < x < β
절댓값 부등식: |x| < a → -a < x < a (a>0)
절댓값 부등식: |x| > a → x<-a 또는 x>a
이차부등식 = 포물선 그래프에서 x축 위/아래 영역 파악
예제
x²-3x-4 < 0 의 해는?
(x-4)(x+1) < 0 → -1 < x < 4
5
집합과 명제
▸ 집합 연산 · 명제
n(A∪B) = n(A) + n(B) - n(A∩B)
드모르간 법칙: (A∪B)ᶜ = Aᶜ∩Bᶜ, (A∩B)ᶜ = Aᶜ∪Bᶜ
명제 p→q의 역: q→p, 이: ~p→~q, 대우: ~q→~p
명제와 대우는 참·거짓이 항상 일치
집합수 공식(포함배제), 드모르간은 여집합에서 교·합이 뒤바뀜
예제
n(A)=10, n(B)=8, n(A∩B)=3이면 n(A∪B)=?
10 + 8 - 3 = 15
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