소수: 1보다 큰 자연수 중 1과 자기 자신만을 약수로 가지는 수
소인수분해: 자연수를 소수의 곱으로 나타내는 것
예) 360 = 2³ × 3² × 5
약수의 개수: a = p^m × q^n 이면 약수의 개수 = (m+1)(n+1)
최대공약수: 공통 소인수를 최솟값 지수로 곱함
최소공배수: 모든 소인수를 최댓값 지수로 곱함
1단원
소인수분해
📌 핵심 개념
⭐ 반드시 암기
- 1은 소수가 아니다 (소수는 약수가 정확히 2개)
- 2는 유일한 짝수 소수
- 소인수분해는 항상 소수만 사용하여 곱의 형태로 표현
- GCD × LCM = 두 수의 곱 (두 수 a, b에 대해 성립)
- 약수의 개수: 지수에 각각 1을 더하고 곱하기
✏️ 예제
Q. 180의 소인수분해를 하고 약수의 개수를 구하시오.
풀이: 180 = 2² × 3² × 5
약수의 개수: (2+1)(2+1)(1+1) = 3×3×2 = 18개
약수의 개수: (2+1)(2+1)(1+1) = 3×3×2 = 18개
2단원
정수와 유리수
📌 핵심 개념
정수: 양의 정수(자연수), 0, 음의 정수 전체
유리수: a/b (a,b는 정수, b≠0) 형태로 나타낼 수 있는 수
절댓값: 수직선에서 원점까지의 거리 (항상 0 이상)
|+5| = 5, |-5| = 5
덧셈: 부호 같으면 절댓값 더하고 공통부호, 부호 다르면 절댓값 큰 것에서 작은 것을 빼고 큰 수의 부호
뺄셈: 빼는 수의 부호를 바꿔서 덧셈으로 변환
곱셈/나눗셈: 부호 같으면 양수, 다르면 음수. (-a)÷(-b)=a÷b=a/b
유리수: a/b (a,b는 정수, b≠0) 형태로 나타낼 수 있는 수
절댓값: 수직선에서 원점까지의 거리 (항상 0 이상)
|+5| = 5, |-5| = 5
덧셈: 부호 같으면 절댓값 더하고 공통부호, 부호 다르면 절댓값 큰 것에서 작은 것을 빼고 큰 수의 부호
뺄셈: 빼는 수의 부호를 바꿔서 덧셈으로 변환
곱셈/나눗셈: 부호 같으면 양수, 다르면 음수. (-a)÷(-b)=a÷b=a/b
⭐ 반드시 암기
- 양수 × 양수 = 양수 / 음수 × 음수 = 양수
- 양수 × 음수 = 음수 / 음수 × 양수 = 음수
- 0은 양수도 음수도 아닌 정수이자 유리수
- 정수는 모두 유리수 (분모 1로 표현 가능)
- 절댓값이 같고 부호가 다른 두 수의 합 = 0
✏️ 예제
Q. (-3) × (+4) + (-2) × (-5)를 계산하시오.
풀이: (-3)×(+4) = -12, (-2)×(-5) = +10
-12 + 10 = -2
-12 + 10 = -2
3단원
문자와 식
📌 핵심 개념
문자식 규칙: 수×문자는 수를 앞에, 1×a=a, -1×a=-a, a÷b=a/b
다항식: 단항식의 합. 차수: 각 항에서 문자의 지수 합
동류항: 문자와 차수가 같은 항 → 계수끼리 더하거나 빼기
일차식의 계산: 괄호 풀기 → 동류항 정리
예) 2(3x-1) - (x+4) = 6x-2-x-4 = 5x-6
다항식: 단항식의 합. 차수: 각 항에서 문자의 지수 합
동류항: 문자와 차수가 같은 항 → 계수끼리 더하거나 빼기
일차식의 계산: 괄호 풀기 → 동류항 정리
예) 2(3x-1) - (x+4) = 6x-2-x-4 = 5x-6
⭐ 반드시 암기
- a×b = ab (곱셈기호 생략), a÷b = a/b
- -(a+b) = -a-b, -(a-b) = -a+b
- x의 계수: x 앞의 수 (부호 포함)
- 상수항: 문자가 없는 항
- 동류항만 더하거나 뺄 수 있음
✏️ 예제
Q. 3(2x-1) - 2(x-3)을 간단히 하시오.
풀이: 6x-3-2x+6 = 4x+3
x의 계수는 4, 상수항은 3이므로 합 = 7
x의 계수는 4, 상수항은 3이므로 합 = 7
4단원
일차방정식
📌 핵심 개념
방정식: 미지수 포함, 특정 값에서만 참이 되는 등식
등식의 성질: A=B 이면
A+C=B+C, A-C=B-C, AC=BC, A/C=B/C (C≠0)
일차방정식 풀이: 이항 → 동류항 정리 → 계수로 나누기
이항: 좌변의 항을 우변으로 옮길 때 부호 바꿈
3x+5=14 → 3x=14-5=9 → x=3
등식의 성질: A=B 이면
A+C=B+C, A-C=B-C, AC=BC, A/C=B/C (C≠0)
일차방정식 풀이: 이항 → 동류항 정리 → 계수로 나누기
이항: 좌변의 항을 우변으로 옮길 때 부호 바꿈
3x+5=14 → 3x=14-5=9 → x=3
⭐ 반드시 암기
- 이항: 반드시 부호 바꿔서 반대편으로
- 소수 포함: 양변에 10, 100을 곱해서 정수로 만들기
- 분수 포함: 양변에 분모의 최소공배수 곱하기
- 해 검증: 구한 x를 원래 방정식에 대입하여 확인
- 일차방정식: 정리 후 ax=b (a≠0) 형태
✏️ 예제
Q. 2(x-3) = 3x-8의 해를 구하시오.
풀이: 2x-6 = 3x-8
2x-3x = -8+6 → -x = -2 → x = 2
2x-3x = -8+6 → -x = -2 → x = 2
5단원
좌표평면과 그래프
📌 핵심 개념
순서쌍: (x좌표, y좌표) 순서가 중요
사분면:
1사분면: (+,+), 2사분면: (-,+)
3사분면: (-,-), 4사분면: (+,-)
정비례: y=ax (a≠0), 원점 통과, a>0이면 우상향
반비례: y=a/x (a≠0), 쌍곡선, xy=a(일정)
정비례: x가 2배→y도 2배 / 반비례: x가 2배→y는 1/2배
사분면:
1사분면: (+,+), 2사분면: (-,+)
3사분면: (-,-), 4사분면: (+,-)
정비례: y=ax (a≠0), 원점 통과, a>0이면 우상향
반비례: y=a/x (a≠0), 쌍곡선, xy=a(일정)
정비례: x가 2배→y도 2배 / 반비례: x가 2배→y는 1/2배
⭐ 반드시 암기
- x축 위의 점: (x, 0), y축 위의 점: (0, y)
- 원점: (0, 0) - 어느 사분면에도 속하지 않음
- 정비례 y=ax: 표에서 y/x = 일정 (= a)
- 반비례 y=a/x: 표에서 xy = 일정 (= a)
- a<0인 정비례: 우하향, a<0인 반비례: 2,4사분면 쌍곡선
✏️ 예제
Q. 점 A(-3, 2)와 점 B(2, -3)이 속하는 사분면을 각각 구하시오.
A(-3, 2): x<0, y>0 → 2사분면
B(2, -3): x>0, y<0 → 4사분면
B(2, -3): x>0, y<0 → 4사분면
0 / 20 문제 완료
1
[소인수분해] 중
다음 중 소수가 아닌 것을 모두 고르면? (정답 2개)
2
[소인수분해] 상
2⁴ × 3² × 5의 약수의 개수는?
3
[소인수분해] 상
두 수 48과 72의 최대공약수와 최소공배수를 순서대로 나열한 것은?
4
[정수와 유리수] 중
다음 수들 중 절댓값이 가장 큰 수는?
5
[정수와 유리수] 상
(-3/4) × (-8/9) ÷ (2/3)을 계산하면?
6
[정수와 유리수] 상
다음 계산 결과로 옳은 것은? (-2)³ + (-3)² - (-4)
7
[정수와 유리수] 중
다음 중 옳지 않은 것은?
8
[정수와 유리수] 상
절댓값이 4 이하인 정수의 개수는?
9
[문자와 식] 중
a = -2일 때, 3a² - 2a + 1의 값은?
10
[문자와 식] 상
3(2x - 1) - 2(x + 3)을 간단히 했을 때, x의 계수와 상수항의 합은?
11
[문자와 식] 상
다항식 4x² - 3x + 5에 대한 설명으로 옳은 것은?
12
[문자와 식] 중
(5x - 3) - 2(x - 4)를 간단히 하면?
13
[문자와 식] 상
어떤 일차식에 2x - 1을 더했더니 5x + 3이 되었다. 어떤 일차식은?
14
[일차방정식] 중
방정식 3x - 7 = 2x + 5의 해는?
15
[일차방정식] 상
방정식 0.2x - 0.5 = 0.3x + 1의 해는?
16
[일차방정식] 상
연속하는 세 홀수의 합이 57일 때, 가장 큰 홀수는?
17
[일차방정식] 상
방정식 x/3 - 1 = (x-1)/2의 해는?
18
[좌표평면] 중
점 P(a-2, 3a+1)이 y축 위에 있을 때, 이 점의 y좌표는?
19
[좌표평면] 상
정비례 관계 y = ax의 그래프가 점 (3, -6)을 지날 때, 점 (-4, b)도 이 그래프 위에 있다. b의 값은?
20
[좌표평면] 상
반비례 관계 y = a/x에서 x = 2일 때 y = -6이다. x = -4일 때 y의 값은?
모든 문제를 풀었다면 점수를 확인하세요!
정답 및 해설
중1-1 수학 기말고사 핵심 기출문제 20선
Q1
③
③④Q2
③
30개Q3
②
24, 144Q4
④
-4.5Q5
②
1Q6
④
5Q7
③
③번Q8
②
9개Q9
③
17Q10
⑤
-5Q11
④
④번Q12
③
3x+5Q13
③
3x+4Q14
④
x=12Q15
②
x=-15Q16
③
21Q17
③
x=-3Q18
③
7Q19
③
b=8Q20
②
y=31
소수가 아닌 것 찾기
③④
소수의 정의: 1보다 큰 자연수 중 약수가 정확히 2개인 수(1과 자기 자신)
• 1 → 약수: {1} → 1개 → 소수 아님 ✗
• 27 = 3³ → 약수: {1,3,9,27} → 4개 → 소수 아님 ✗
• 2 → 약수: {1,2} → 소수 ○, 7 → 소수 ○, 11 → 소수 ○
• 27 = 3³ → 약수: {1,3,9,27} → 4개 → 소수 아님 ✗
• 2 → 약수: {1,2} → 소수 ○, 7 → 소수 ○, 11 → 소수 ○
핵심: 1은 소수가 아니다! 2는 유일한 짝수 소수!
2
약수의 개수
30개
소인수분해된 수 2⁴×3²×5¹의 약수의 개수
각 소인수의 지수에 1을 더하고 모두 곱한다
(4+1) × (2+1) × (1+1) = 5 × 3 × 2 = 30
(4+1) × (2+1) × (1+1) = 5 × 3 × 2 = 30
공식: pᵃ×qᵇ×rᶜ의 약수의 개수 = (a+1)(b+1)(c+1)
3
최대공약수, 최소공배수
24, 144
48 = 2⁴ × 3¹
72 = 2³ × 3²
GCD: 공통, 최솟값 지수 → 2³ × 3¹ = 8 × 3 = 24
LCM: 모두, 최댓값 지수 → 2⁴ × 3² = 16 × 9 = 144
72 = 2³ × 3²
GCD: 공통, 최솟값 지수 → 2³ × 3¹ = 8 × 3 = 24
LCM: 모두, 최댓값 지수 → 2⁴ × 3² = 16 × 9 = 144
검증: GCD × LCM = 24 × 144 = 3456 = 48 × 72 ✓
4
절댓값 비교
-4.5
|+3.5| = 3.5, |-3| = 3, |+4| = 4, |-4.5| = 4.5, |+2| = 2
최댓값: 4.5 → 해당하는 수: -4.5
최댓값: 4.5 → 해당하는 수: -4.5
절댓값은 항상 0 이상, 부호 무시하고 원점까지 거리
5
유리수 혼합 계산
1
(-3/4) × (-8/9) ÷ (2/3)
= (-3/4) × (-8/9) × (3/2) [역수로 곱셈 전환]
= +(3×8×3)/(4×9×2) [음수 2개 → 양수]
= 72/72 = 1
= (-3/4) × (-8/9) × (3/2) [역수로 곱셈 전환]
= +(3×8×3)/(4×9×2) [음수 2개 → 양수]
= 72/72 = 1
나눗셈 → 역수로 바꾸고 곱셈. 음수 개수로 부호 결정
6
정수 거듭제곱 계산
5
(-2)³ = (-2)×(-2)×(-2) = 4×(-2) = -8 [홀수승 → 음수]
(-3)² = (-3)×(-3) = 9 [짝수승 → 양수]
-(-4) = +4
-8 + 9 + 4 = 5
(-3)² = (-3)×(-3) = 9 [짝수승 → 양수]
-(-4) = +4
-8 + 9 + 4 = 5
홀수승 → 음수 부호 유지 / 짝수승 → 양수로 변환
7
수의 포함 관계
③번
수의 포함 관계: 자연수 ⊂ 정수 ⊂ 유리수
자연수 n = n/1 이므로 유리수에 포함됨
③ "자연수는 유리수가 아니다" → 틀린 설명
자연수 n = n/1 이므로 유리수에 포함됨
③ "자연수는 유리수가 아니다" → 틀린 설명
자연수 ⊂ 정수 ⊂ 유리수 (포함 관계 암기!)
8
절댓값 조건의 정수 개수
9개
|x| ≤ 4 ↔ -4 ≤ x ≤ 4
정수: -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4
→ 총 9개 (0 포함 주의!)
정수: -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4
→ 총 9개 (0 포함 주의!)
0도 정수! |0| = 0 ≤ 4 이므로 포함
9
식의 값 계산
17
a = -2 대입:
3×(-2)² - 2×(-2) + 1
= 3×4 - (-4) + 1
= 12 + 4 + 1 = 17
3×(-2)² - 2×(-2) + 1
= 3×4 - (-4) + 1
= 12 + 4 + 1 = 17
대입 시 음수는 반드시 괄호 사용! (-2)² = 4 (양수)
10
일차식의 계산, 계수와 상수항의 합
-5
3(2x-1) - 2(x+3)
= 6x - 3 - 2x - 6
= 4x - 9
x의 계수: 4, 상수항: -9
합: 4 + (-9) = -5
= 6x - 3 - 2x - 6
= 4x - 9
x의 계수: 4, 상수항: -9
합: 4 + (-9) = -5
-2(x+3) = -2x-6 (부호 분배 주의!)
11
다항식의 구성 요소
④번
4x²-3x+5:
항: 4x², -3x, 5 → 3개(①오답)
차수: 2 → 이차다항식(②오답)
상수항: 5(③오답)
x²의 계수: 4 ✓(④정답)
x의 계수: -3(⑤오답, 3이 아님)
항: 4x², -3x, 5 → 3개(①오답)
차수: 2 → 이차다항식(②오답)
상수항: 5(③오답)
x²의 계수: 4 ✓(④정답)
x의 계수: -3(⑤오답, 3이 아님)
계수는 부호 포함! x의 계수 = -3 (음수)
12
일차식의 계산
3x+5
(5x-3) - 2(x-4)
= 5x - 3 - 2x + 8
= 3x + 5
= 5x - 3 - 2x + 8
= 3x + 5
-2×(-4) = +8 (음수×음수=양수)
13
역산으로 식 구하기
3x+4
어떤 식을 □라 하면:
□ + (2x-1) = 5x+3
□ = (5x+3) - (2x-1)
= 5x+3-2x+1 = 3x+4
□ + (2x-1) = 5x+3
□ = (5x+3) - (2x-1)
= 5x+3-2x+1 = 3x+4
빼는 식의 괄호 풀 때 모든 항 부호 바꾸기!
14
일차방정식 풀기
x=12
3x-7 = 2x+5
3x-2x = 5+7 (이항)
x = 12
3x-2x = 5+7 (이항)
x = 12
검증: 좌변 3(12)-7=29, 우변 2(12)+5=29 ✓
15
소수 계수 방정식
x=-15
0.2x-0.5 = 0.3x+1 (양변×10)
2x-5 = 3x+10
2x-3x = 10+5
-x = 15 → x = -15
2x-5 = 3x+10
2x-3x = 10+5
-x = 15 → x = -15
소수 방정식: 양변에 10(또는 100) 곱해 정수화
16
연속 홀수의 합 활용
21
세 홀수: x-2, x, x+2 (중간값 기준)
(x-2)+x+(x+2) = 57
3x = 57 → x = 19
가장 큰 홀수 = 19+2 = 21
(x-2)+x+(x+2) = 57
3x = 57 → x = 19
가장 큰 홀수 = 19+2 = 21
연속 홀수: 2씩 차이 (짝수는 2씩, 홀수도 2씩)
17
분수 계수 방정식
x=-3
x/3-1 = (x-1)/2 (양변×6)
2x-6 = 3(x-1)
2x-6 = 3x-3
-x = 3 → x = -3
2x-6 = 3(x-1)
2x-6 = 3x-3
-x = 3 → x = -3
분수 방정식: 양변에 분모들의 LCM 곱하기
18
y축 위의 점
y=7
y축 위의 점 → x좌표 = 0
a-2 = 0 → a = 2
y좌표 = 3(2)+1 = 7
a-2 = 0 → a = 2
y좌표 = 3(2)+1 = 7
x축 위: y=0 / y축 위: x=0 / 원점: x=0, y=0
19
정비례 관계 활용
b=8
y=ax에 (3,-6) 대입: -6=3a → a=-2
y=-2x에 x=-4 대입: y=(-2)×(-4)=8
b=8
y=-2x에 x=-4 대입: y=(-2)×(-4)=8
b=8
정비례: y/x = a (일정). x=-4일 때 y=(-2)×(-4)=+8
20
반비례 관계 활용
y=3
y=a/x에 x=2, y=-6 대입:
-6 = a/2 → a = -12
y = -12/x에 x=-4 대입:
y = -12/(-4) = 3
-6 = a/2 → a = -12
y = -12/x에 x=-4 대입:
y = -12/(-4) = 3
반비례: xy = a (일정). a = 2×(-6) = -12