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1
소인수분해
소수 · 합성수 · 소인수분해 · 제곱수
핵심 개념 & 암기
소수(prime number)
1과 자기 자신만을 약수로 갖는 1보다 큰 자연수
예: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, …
합성수(composite number)
약수가 3개 이상인 자연수 (1은 소수도 합성수도 아님)
예: 4, 6, 8, 9, 10, 12, …
소인수분해
자연수를 소수들의 곱으로 나타내는 것
방법: 작은 소수부터 차례로 나누기
약수의 개수 공식
N = am × bn × … 이면
약수의 개수 = (m+1)(n+1)…
핵심 공식
72 = 2³ × 3² → 약수의 개수 = (3+1)(2+1) = 12개
예제 풀어보기
Q. 180을 소인수분해하고, 약수의 개수를 구하여라.
풀이: 180 = 2² × 3² × 5¹
약수의 개수 = (2+1)(2+1)(1+1) = 3×3×2 = 18개
약수의 개수 = (2+1)(2+1)(1+1) = 3×3×2 = 18개
문제 01 / 20
★★☆ 보통
252를 소인수분해한 것으로 옳은 것은?
✅ 정답 해설
252를 작은 소수부터 나눕니다.
252 ÷ 2 = 126
126 ÷ 2 = 63
63 ÷ 3 = 21
21 ÷ 3 = 7
7은 소수이므로 나누기 종료.
∴ 252 = 2² × 3² × 7
252 ÷ 2 = 126
126 ÷ 2 = 63
63 ÷ 3 = 21
21 ÷ 3 = 7
7은 소수이므로 나누기 종료.
∴ 252 = 2² × 3² × 7
정답: ②
문제 02 / 20
★★★ 어려움
360의 약수의 개수는?
✅ 정답 해설
360 = 2³ × 3² × 5
(360 ÷ 2 = 180, ÷2 = 90, ÷2 = 45 = 3² × 5)
약수의 개수 = (3+1)(2+1)(1+1) = 4 × 3 × 2 = 24개
(360 ÷ 2 = 180, ÷2 = 90, ÷2 = 45 = 3² × 5)
약수의 개수 = (3+1)(2+1)(1+1) = 4 × 3 × 2 = 24개
정답: ③
문제 03 / 20
★★★ 최상위
2a × 3b의 약수의 개수가 12개일 때, 자연수 a, b의 합 a+b의 최댓값은?
(단, a, b는 자연수)
(단, a, b는 자연수)
✅ 정답 해설
약수의 개수 = (a+1)(b+1) = 12
12를 두 자연수의 곱으로 나누는 경우:
(a+1)(b+1) = 12의 인수분해:
• 2×6 → a=1, b=5, 합=6
• 3×4 → a=2, b=3, 합=5
• 4×3 → a=3, b=2, 합=5
• 6×2 → a=5, b=1, 합=6
• 12×1 → b+1=1이면 b=0, b는 자연수 조건 위배
• 1×12 → a+1=1이면 a=0, 자연수 조건 위배
따라서 a+b의 최댓값 = 6
12를 두 자연수의 곱으로 나누는 경우:
(a+1)(b+1) = 12의 인수분해:
• 2×6 → a=1, b=5, 합=6
• 3×4 → a=2, b=3, 합=5
• 4×3 → a=3, b=2, 합=5
• 6×2 → a=5, b=1, 합=6
• 12×1 → b+1=1이면 b=0, b는 자연수 조건 위배
• 1×12 → a+1=1이면 a=0, 자연수 조건 위배
따라서 a+b의 최댓값 = 6
정답: ②
2
최대공약수 · 최소공배수
공약수 · 공배수 · 활용 문제
핵심 개념 & 암기
최대공약수(GCD) 구하는 법
공통인 소인수를 작은 지수로 곱한다.
예: 12=2²×3, 18=2×3² → GCD=2×3=6
최소공배수(LCM) 구하는 법
공통·비공통 소인수를 모두 큰 지수로 곱한다.
예: 12=2²×3, 18=2×3² → LCM=2²×3²=36
GCD × LCM = 두 수의 곱
두 자연수 A, B에 대해: A×B = GCD(A,B) × LCM(A,B)
핵심 관계식
A × B = GCD(A,B) × LCM(A,B)
예제 풀어보기
Q. 두 수 24와 36의 최대공약수와 최소공배수를 구하여라.
24 = 2³ × 3, 36 = 2² × 3²
GCD = 2² × 3 = 12, LCM = 2³ × 3² = 72
검산: 24 × 36 = 864 = 12 × 72 ✓
GCD = 2² × 3 = 12, LCM = 2³ × 3² = 72
검산: 24 × 36 = 864 = 12 × 72 ✓
문제 04 / 20
★★☆ 보통
두 수 48과 72의 최소공배수는?
✅ 정답 해설
48 = 2⁴ × 3
72 = 2³ × 3²
LCM = 각 소인수의 최대 지수 곱
LCM = 2⁴ × 3² = 16 × 9 = 144
72 = 2³ × 3²
LCM = 각 소인수의 최대 지수 곱
LCM = 2⁴ × 3² = 16 × 9 = 144
정답: ③
문제 05 / 20
★★★ 어려움
두 자연수 A, B의 최대공약수가 6이고 최소공배수가 180일 때, A+B의 값이 될 수 없는 것은?
(단, A < B)
(단, A < B)
✅ 정답 해설
GCD=6이면 A=6a, B=6b (단, gcd(a,b)=1)
LCM = 6ab = 180 → ab = 30
서로소인 쌍 (a,b): (1,30),(2,15),(3,10),(5,6)
(a<b이어야 함)
• (1,30): A=6, B=180 → A+B=186
• (2,15): A=12, B=90 → A+B=102 ❌ 보기에 없음
• (3,10): A=18, B=60 → A+B=78 ❌ 보기에 없음
• (5,6): A=30, B=36 → A+B=66
보기에 있는 A+B: 186(①→⑤), 66(③)
42=6+36: a=1,b=6인데 gcd=6이므로 성립안됨
54=6+48: a=1,b=8 → ab=8≠30 불가
96=6×16? A=6,B=90→96 아님. 6×?=96→ a=1이면 B=90→96 아님
42, 54, 96은 조건을 만족하는 A+B가 될 수 없고,
그 중 보기에서 96이 될 수 없는 것.
LCM = 6ab = 180 → ab = 30
서로소인 쌍 (a,b): (1,30),(2,15),(3,10),(5,6)
(a<b이어야 함)
• (1,30): A=6, B=180 → A+B=186
• (2,15): A=12, B=90 → A+B=102 ❌ 보기에 없음
• (3,10): A=18, B=60 → A+B=78 ❌ 보기에 없음
• (5,6): A=30, B=36 → A+B=66
보기에 있는 A+B: 186(①→⑤), 66(③)
42=6+36: a=1,b=6인데 gcd=6이므로 성립안됨
54=6+48: a=1,b=8 → ab=8≠30 불가
96=6×16? A=6,B=90→96 아님. 6×?=96→ a=1이면 B=90→96 아님
42, 54, 96은 조건을 만족하는 A+B가 될 수 없고,
그 중 보기에서 96이 될 수 없는 것.
정답: ④ (96)
문제 06 / 20
★★★ 최상위
가로 60cm, 세로 48cm인 직사각형 타일로 정사각형 바닥을 빈틈없이 채우려 한다. 정사각형의 한 변의 길이를 최대로 할 때, 필요한 타일의 수는?
✅ 정답 해설
정사각형 한 변 = LCM(60, 48)
60 = 2² × 3 × 5
48 = 2⁴ × 3
LCM = 2⁴ × 3 × 5 = 240cm
필요한 타일 수 = (240÷60) × (240÷48) = 4 × 5 = 20장
60 = 2² × 3 × 5
48 = 2⁴ × 3
LCM = 2⁴ × 3 × 5 = 240cm
필요한 타일 수 = (240÷60) × (240÷48) = 4 × 5 = 20장
정답: ③
3
정수와 유리수
절댓값 · 수직선 · 사칙연산
핵심 개념 & 암기
절댓값
수직선에서 원점까지의 거리
|a| ≥ 0, |-a| = |a|, |0| = 0
유리수의 덧셈·뺄셈
부호 같으면 절댓값을 더하고, 부호 다르면 절댓값이 큰 쪽에서 뺌
유리수의 곱셈·나눗셈
같은 부호 → 양수, 다른 부호 → 음수
나눗셈은 역수를 곱함
분배법칙
a(b+c) = ab + ac
연산 순서: 괄호 → 곱셈·나눗셈 → 덧셈·뺄셈
예제 풀어보기
Q. (-3) × 4 + (-2)² ÷ (-1)의 값을 구하여라.
(-3) × 4 = -12
(-2)² = 4, 4 ÷ (-1) = -4
-12 + (-4) = -16
(-2)² = 4, 4 ÷ (-1) = -4
-12 + (-4) = -16
문제 07 / 20
★★☆ 보통
절댓값이 5 이하인 정수의 개수는?
✅ 정답 해설
|n| ≤ 5인 정수 n은:
-5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5
총 11개
-5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5
총 11개
정답: ③
문제 08 / 20
★★★ 어려움
다음을 계산한 값은?
(-2)³ × (1/4) - (-3)² ÷ (-9)
(-2)³ × (1/4) - (-3)² ÷ (-9)
✅ 정답 해설
(-2)³ = -8
-8 × (1/4) = -2
(-3)² = 9
9 ÷ (-9) = -1
-2 - (-1) = -2 + 1 = -1
-8 × (1/4) = -2
(-3)² = 9
9 ÷ (-9) = -1
-2 - (-1) = -2 + 1 = -1
정답: ③
문제 09 / 20
★★★ 어려움
a = -3/2, b = 4/3일 때, a ÷ b × (-6)의 값은?
✅ 정답 해설
a ÷ b = (-3/2) ÷ (4/3)
= (-3/2) × (3/4)
= -9/8
(-9/8) × (-6) = 54/8 = 27/4
= (-3/2) × (3/4)
= -9/8
(-9/8) × (-6) = 54/8 = 27/4
정답: ③
문제 10 / 20
★★★ 최상위
수직선 위에서 두 수 a = -7/3, b = 5/4를 나타낼 때, a와 b 사이의 거리는?
✅ 정답 해설
두 수 사이의 거리 = |b - a| = |5/4 - (-7/3)|
= |5/4 + 7/3|
공통분모 12로 통분:
= |15/12 + 28/12|
= |43/12|
= 43/12
= |5/4 + 7/3|
공통분모 12로 통분:
= |15/12 + 28/12|
= |43/12|
= 43/12
정답: ①
4
일차방정식
등식의 성질 · 풀이법 · 활용
핵심 개념 & 암기
등식의 성질
① A=B이면 A+C=B+C
② A=B이면 A-C=B-C
③ A=B이면 AC=BC
④ A=B이면 A/C=B/C (C≠0)
이항(移項)
등식의 한 쪽 항을 반대 부호로 반대편으로 옮기는 것
예: 2x+3=7 → 2x=7-3
비례식
a:b = c:d ↔ ad = bc (내항의 곱 = 외항의 곱)
풀이 순서
괄호 풀기 → 분모 제거 → 이항 → 동류항 정리 → x = (값)
예제 풀어보기
Q. 2(x-3) = 3x - 1을 풀어라.
2x - 6 = 3x - 1
2x - 3x = -1 + 6
-x = 5
x = -5
2x - 3x = -1 + 6
-x = 5
x = -5
문제 11 / 20
★★☆ 보통
방정식 3(x-2) = 2x + 1의 해는?
✅ 정답 해설
3(x-2) = 2x + 1
3x - 6 = 2x + 1
3x - 2x = 1 + 6
x = 7
검산: 3(7-2) = 15, 2×7+1 = 15 ✓
3x - 6 = 2x + 1
3x - 2x = 1 + 6
x = 7
검산: 3(7-2) = 15, 2×7+1 = 15 ✓
정답: ③
문제 12 / 20
★★★ 어려움
방정식 (x-3)/2 - (x+1)/6 = -2의 해는?
✅ 정답 해설
양변에 6을 곱하여 분모를 제거합니다:
6×(x-3)/2 - 6×(x+1)/6 = 6×(-2)
3(x-3) - (x+1) = -12
3x - 9 - x - 1 = -12
2x - 10 = -12
2x = -2
x = -1
검산: (-1-3)/2 - (-1+1)/6 = -4/2 - 0/6 = -2 ✓
6×(x-3)/2 - 6×(x+1)/6 = 6×(-2)
3(x-3) - (x+1) = -12
3x - 9 - x - 1 = -12
2x - 10 = -12
2x = -2
x = -1
검산: (-1-3)/2 - (-1+1)/6 = -4/2 - 0/6 = -2 ✓
정답: ⑤ (x = -1)
방정식: (x-3)/2 - (x+1)/6 = -2
방정식: (x-3)/2 - (x+1)/6 = -2
문제 13 / 20
★★★ 어려움
현재 어머니의 나이는 43세이고, 아들의 나이는 7세이다. 몇 년 후에 어머니의 나이가 아들 나이의 3배가 되겠는가?
✅ 정답 해설
x년 후를 구합니다.
x년 후 어머니 나이: 43+x
x년 후 아들 나이: 7+x
조건: 43+x = 3(7+x)
43+x = 21+3x
43-21 = 3x-x
22 = 2x
x = 11
검산: 11년 후 어머니=54세, 아들=18세
54 = 3×18 ✓
x년 후 어머니 나이: 43+x
x년 후 아들 나이: 7+x
조건: 43+x = 3(7+x)
43+x = 21+3x
43-21 = 3x-x
22 = 2x
x = 11
검산: 11년 후 어머니=54세, 아들=18세
54 = 3×18 ✓
정답: ④ (11년 후)
문제 14 / 20
★★★ 최상위
방정식 ax + 3 = bx - 5의 해가 x = 4일 때, a - b의 값은?
(단, a, b는 상수)
(단, a, b는 상수)
✅ 정답 해설
x=4를 ax+3=bx-5에 대입:
4a+3 = 4b-5
4a-4b = -5-3
4(a-b) = -8
a-b = -2
4a+3 = 4b-5
4a-4b = -5-3
4(a-b) = -8
a-b = -2
정답: ②
문제 15 / 20
★★★ 최상위
어떤 수의 5배에서 7을 빼면, 그 수의 2배에 8을 더한 것과 같다. 이 수는?
✅ 정답 해설
어떤 수를 x로 놓으면:
5x - 7 = 2x + 8
5x - 2x = 8 + 7
3x = 15
x = 5
검산: 5×5-7=18, 2×5+8=18 ✓
5x - 7 = 2x + 8
5x - 2x = 8 + 7
3x = 15
x = 5
검산: 5×5-7=18, 2×5+8=18 ✓
정답: ③
5
좌표와 그래프
좌표평면 · 사분면 · 정비례 · 반비례
핵심 개념 & 암기
사분면 부호 암기
1사분면: (+,+) / 2사분면: (-,+)
3사분면: (-,-) / 4사분면: (+,-)
정비례 y = ax
원점을 지나는 직선
a>0: 1,3사분면 / a<0: 2,4사분면
반비례 y = a/x
원점을 지나지 않는 곡선(쌍곡선)
a>0: 1,3사분면 / a<0: 2,4사분면
축 위의 점
x축 위: y=0 / y축 위: x=0
축 위의 점은 어느 사분면에도 속하지 않음
예제 풀어보기
Q. 점 A(-3, 2)와 B(a, b)가 x축에 대해 대칭일 때, a+b의 값은?
x축 대칭: x좌표 같고, y좌표 부호 반대
B = (-3, -2) → a=-3, b=-2
a+b = -5
B = (-3, -2) → a=-3, b=-2
a+b = -5
문제 16 / 20
★★☆ 보통
점 P(a+2, 3-b)가 제3사분면 위에 있을 때, 점 Q(a, b)는 몇 사분면에 있는가?
✅ 정답 해설
P(a+2, 3-b)가 제3사분면 위에 있으므로:
x좌표 < 0: a+2 < 0 → a < -2 (a는 음수)
y좌표 < 0: 3-b < 0 → b > 3 (b는 양수)
Q(a, b)에서:
x = a < 0 (음수), y = b > 0 (양수)
x음수, y양수 → 제2사분면
x좌표 < 0: a+2 < 0 → a < -2 (a는 음수)
y좌표 < 0: 3-b < 0 → b > 3 (b는 양수)
Q(a, b)에서:
x = a < 0 (음수), y = b > 0 (양수)
x음수, y양수 → 제2사분면
정답: ② 제2사분면
문제 17 / 20
★★★ 어려움
정비례 함수 y = ax의 그래프가 점 (-2, 6)을 지날 때, 이 함수의 그래프가 지나는 점은?
✅ 정답 해설
y = ax에 (-2, 6) 대입:
6 = a × (-2) → a = -3
함수: y = -3x
각 보기 검증 (y = -3x 성립 여부):
① (1,3): -3×1 = -3 ≠ 3 ✗
② (2,-4): -3×2 = -6 ≠ -4 ✗
③ (-3,-9): -3×(-3) = 9 ≠ -9 ✗
④ (4,-12): -3×4 = -12 = -12 ✓
⑤ (-2,-6): -3×(-2) = 6 ≠ -6 ✗
따라서 y=-3x의 그래프 위의 점은 (4, -12)
6 = a × (-2) → a = -3
함수: y = -3x
각 보기 검증 (y = -3x 성립 여부):
① (1,3): -3×1 = -3 ≠ 3 ✗
② (2,-4): -3×2 = -6 ≠ -4 ✗
③ (-3,-9): -3×(-3) = 9 ≠ -9 ✗
④ (4,-12): -3×4 = -12 = -12 ✓
⑤ (-2,-6): -3×(-2) = 6 ≠ -6 ✗
따라서 y=-3x의 그래프 위의 점은 (4, -12)
정답: ④ (4, -12)
y=-3x에서 x=4이면 y=-12
y=-3x에서 x=4이면 y=-12
문제 18 / 20
★★★ 어려움
반비례 함수 y = a/x의 그래프가 점 (3, -4)를 지날 때, x = -6에서의 y값은?
✅ 정답 해설
y = a/x에 (3, -4) 대입:
-4 = a/3 → a = -12
함수: y = -12/x
x = -6 대입:
y = -12/(-6) = 2
-4 = a/3 → a = -12
함수: y = -12/x
x = -6 대입:
y = -12/(-6) = 2
정답: ③
문제 19 / 20
★★★ 최상위
점 A(4, a)와 y축에 대한 대칭점 B의 좌표가 (-4, 3)일 때, a의 값은?
✅ 정답 해설
y축 대칭: x좌표의 부호가 반대, y좌표는 같다.
A(4, a)의 y축 대칭점 = (-4, a)
B(-4, 3)과 비교하면:
a = 3
A(4, a)의 y축 대칭점 = (-4, a)
B(-4, 3)과 비교하면:
a = 3
정답: ④
문제 20 / 20
★★★ 최상위
정비례 y = 2x의 그래프와 반비례 y = k/x의 그래프의 교점이 (m, 4)일 때, k+m의 값은?
✅ 정답 해설
교점 (m, 4)는 y = 2x 위의 점:
4 = 2m → m = 2
교점 (2, 4)는 y = k/x 위의 점:
4 = k/2 → k = 8
k + m = 8 + 2 = 10
4 = 2m → m = 2
교점 (2, 4)는 y = k/x 위의 점:
4 = k/2 → k = 8
k + m = 8 + 2 = 10
정답: ③
🎉 최종 결과
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20문제 중 0개 정답
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📋 정답 및 해설
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01
정답: ②
252 = 2² × 3² × 7
순서대로 나누기: 252÷2=126, 126÷2=63, 63÷3=21, 21÷3=7(소수)
순서대로 나누기: 252÷2=126, 126÷2=63, 63÷3=21, 21÷3=7(소수)
02
정답: ③
360 = 2³×3²×5 → 약수 개수 = (3+1)(2+1)(1+1) = 24개
03
정답: ②
(a+1)(b+1)=12, 가능한 쌍: (1,30),(5,6)등 → a+b 최댓값=1+5=6
04
정답: ③
48=2⁴×3, 72=2³×3² → LCM=2⁴×3²=16×9=144
05
정답: ④
A=6a, B=6b, ab=30, 서로소 쌍: (1,30)→합186, (5,6)→합66, (2,15)→합102, (3,10)→합78. 96은 불가.
06
정답: ③
정사각형 변=LCM(60,48)=240cm. 타일수=(240÷60)×(240÷48)=4×5=20장
07
정답: ③
|n|≤5인 정수: -5,-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4,5 → 11개
08
정답: ③
(-2)³×(1/4)=-8×(1/4)=-2, (-3)²÷(-9)=9÷(-9)=-1, -2-(-1)=-1
09
정답: ③
(-3/2)÷(4/3)=(-3/2)×(3/4)=-9/8, (-9/8)×(-6)=54/8=27/4
10
정답: ①
|5/4-(-7/3)|=|15/12+28/12|=43/12
11
정답: ③
3(x-2)=2x+1 → 3x-6=2x+1 → x=7
12
정답: ⑤
(x-3)/2-(x+1)/6=-2 → 3(x-3)-(x+1)=-12 → 2x-10=-12 → x=-1
13
정답: ④
43+x=3(7+x) → 43+x=21+3x → 22=2x → x=11 (11년 후)
14
정답: ②
x=4 대입: 4a+3=4b-5 → 4(a-b)=-8 → a-b=-2
15
정답: ③
5x-7=2x+8 → 3x=15 → x=5
16
정답: ②
P(a+2,3-b)가 3사분면: a+2<0→a<-2, 3-b<0→b>3. Q(a,b): a<0, b>0 → 제2사분면
17
정답: ④
6=a×(-2) → a=-3. y=-3x에서 x=4: y=-12. 점 (4,-12) 통과.
18
정답: ③
-4=a/3 → a=-12. y=-12/x에서 x=-6: y=-12/(-6)=2
19
정답: ④
y축 대칭: x좌표 부호만 바뀜, y좌표 동일. A(4,a)→B(-4,a)=(-4,3) → a=3
20
정답: ③
y=2x에서 4=2m→m=2. y=k/x에서 4=k/2→k=8. k+m=10