소인수분해
• 소수: 1과 자기 자신만을 약수로 가지는 1보다 큰 자연수 (예: 2, 3, 5, 7, 11, 13, …)
• 합성수: 소수가 아닌 1보다 큰 자연수 (예: 4, 6, 8, 9, 10, …)
• 1은 소수도 합성수도 아님에 주의!
약수의 개수 = (a+1)(b+1)(c+1)
약수의 총합 = (1+p₁+…+p₁^a)(1+p₂+…+p₂^b)…
- 소인수분해 = 소수들의 곱으로 표현 (작은 소수부터 나누기)
- 지수는 반드시 2 이상일 때만 사용 (2¹은 그냥 2로 씀)
- 소인수 = 소인수분해했을 때 나타나는 소수
- 제곱수인지 확인: 모든 지수가 짝수이면 제곱수
Q. 360을 소인수분해하고 약수의 개수를 구하시오.
A. 360 = 2³×3²×5, 약수의 개수 = (3+1)(2+1)(1+1) = 4×3×2 = 24개
정수와 유리수
• 정수: 양의 정수(자연수), 0, 음의 정수
• 유리수: p/q 꼴 (p, q는 정수, q≠0). 정수는 유리수에 포함됨
덧셈: 같은 부호 → 절댓값 합×공통부호
덧셈: 다른 부호 → 절댓값 차×큰 절댓값의 부호
뺄셈: a − b = a + (−b)
곱셈·나눗셈: 부호 규칙 (같으면 +, 다르면 −)
- 수의 대소관계: 음수끼리는 절댓값이 클수록 작다
- 역수: a의 역수는 1/a (a×(1/a) = 1)
- 음수의 역수: −3/4의 역수는 −4/3
- 혼합계산: 거듭제곱 → 괄호 → 곱나눗 → 덧뺄셈
Q. (−3)² ÷ (−¹⁄₃) × (−2) 를 계산하시오.
A. 9 ÷ (−⅓) × (−2) = 9 × (−3) × (−2) = 54
문자와 식
• 단항식: 수 또는 문자의 곱으로 이루어진 식 (예: 3x, −2a²b)
• 다항식: 단항식의 합 (예: 2x + 3y − 1)
• 동류항: 문자와 차수가 완전히 같은 항 → 합치기 가능
동류항 정리: ax + bx = (a+b)x
대입: 식에 수 넣기 (괄호 필수!)
- x·x = x², 1×x = x (계수 1은 생략, x는 x¹)
- −x는 −1×x, 계수는 −1
- 다항식 나눗셈: (다항식) ÷ (수) = 각 항 ÷ 수
- 차수: 문자의 지수 / 최고차항: 차수가 가장 높은 항
Q. 3(2x−1) − 2(x+4)를 간단히 하시오.
A. 6x−3 − 2x−8 = 4x − 11
일차방정식
• 방정식: 미지수 x의 값에 따라 참/거짓이 달라지는 등식
• 일차방정식: ax + b = 0 (a≠0) 꼴로 변형되는 방정식
등식의 성질:
A=B이면 A±C=B±C
A=B이면 AC=BC, A/C=B/C (C≠0)
비례식: a:b = c:d → ad = bc
- 풀이 순서: 괄호 → 분모 제거 → 이항 → 동류항 정리 → 계수로 나누기
- 분수가 있으면: 분모의 LCM 곱하기
- 소수가 있으면: 10, 100 곱하기
- 활용: 미지수 설정 → 방정식 세우기 → 풀기 → 검산
Q. 0.3x − 1 = 0.1x + 0.4를 풀어라.
A. 3x − 10 = x + 4 → 2x = 14 → x = 7
좌표와 그래프
• 좌표평면: x축(가로), y축(세로), 원점(0,0)
• 사분면: I(+,+), II(−,+), III(−,−), IV(+,−)
x축 대칭: (a, b) → (a, −b)
y축 대칭: (a, b) → (−a, b)
원점 대칭: (a, b) → (−a, −b)
정비례: y = ax (원점을 지나는 직선)
반비례: y = a/x (원점을 기준으로 한 쌍곡선)
- 축 위의 점은 사분면에 속하지 않음
- 정비례: x값이 2배→y값도 2배 / 반비례: x값이 2배→y값은 ½배
- 정비례 y=ax: a>0이면 우상향, a<0이면 우하향
- 반비례 y=a/x: a>0이면 1·3사분면, a<0이면 2·4사분면
Q. 점 (−3, 2)와 y축에 대하여 대칭인 점의 좌표를 구하시오.
A. y축 대칭: x부호만 반대 → (3, 2)
✏️ 기출 핵심 20문제
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