FINAL EXAM 2025
중1-1 기말
수학 핵심 기출
소인수분해 · 공약수/공배수 · 정수와 유리수
타이머
25:00
핵심 개념 정리
소수: 1보다 큰 자연수 중 1과 자기 자신만을 약수로 가지는 수
예) 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29 …
합성수: 1보다 큰 자연수 중 소수가 아닌 수 (약수가 3개 이상)
예) 4, 6, 8, 9, 10, 12, 14, 15, 16 …
※ 1은 소수도 합성수도 아님!
소인수분해: 자연수를 소수의 곱으로 나타내기
72 = 2³ × 3²
🗝 꼭 암기!
소인수: 소인수분해했을 때 나오는 소수 인수
소인수분해는 나눗셈법(거꾸로 나누기)으로 구함
약수의 개수: aᵐ×bⁿ 꼴이면 (m+1)(n+1)개
✏ 예제
180을 소인수분해하면?
180 = 2²×3²×5 풀이: 180÷2=90, 90÷2=45, 45÷3=15, 15÷3=5, 5÷5=1
∴ 2²×3²×5 약수의 개수: (2+1)(2+1)(1+1)=18개
다음 중 소수인 것은? (단, 옳은 것을 하나만 고르시오.)
① 1 → 소수도 합성수도 아님
② 4 = 2×2 → 합성수 (약수: 1, 2, 4)
③ 17 → 약수: 1, 17 뿐 → 소수 ✓
④ 21 = 3×7 → 합성수
⑤ 27 = 3³ → 합성수
120 ÷ 2 = 60 → 60 ÷ 2 = 30 → 30 ÷ 2 = 15 → 15 ÷ 3 = 5 → 5 ÷ 5 = 1
120 = 2³ × 3 × 5
2가 3번, 3이 1번, 5가 1번 곱해짐
약수의 개수 = (지수+1)의 곱
= (2+1) × (1+1) × (1+1)
= 3 × 2 × 2 = 12개
2²×3¹×5¹ → 지수: 2, 1, 1
(2+1)(1+1)(1+1) = 12개
2³ × 5 × 7의 소인수를 모두 더한 값은?
소인수란 소인수분해에서 나오는 소수 밑수만!
2³×5×7의 소인수: 2, 5, 7
(지수 3은 세지 않음, 2가 소인수임)
2 + 5 + 7 = 14
3² × a의 약수의 개수가 9개일 때, 다음 중 a의 값이 될 수 있는 것은? (단, a는 소수)
경우1: a=3이면 → 3²×3 = 3³
약수의 개수 = (3+1) = 4개 ✗
경우2: a=5(또는 3이 아닌 다른 소수)이면 → 3²×5
약수의 개수 = (2+1)(1+1) = 6개 ✗
약수의 개수가 9개가 되려면:
9 = 9×1 → 지수가 8 → 3⁸ (a는 소수여야 하므로 불가)
9 = 3×3 → (2+1)(2+1) = 9 → 3²×a² 형태
a가 소수이고 a²여야 하므로 → a는 소수여야 하는데, 3²×a에서 a가 소수일 때 a² 형태가 되려면 a=3일 때만 3³이 되고
이 경우 약수 개수 = 4, 안됨.
재검토: 3²×a, a가 소수
a≠3: (2+1)(1+1)=6개, a=3: (3+1)=4개
약수 9개 → a²×3² 형태 필요 → a는 소수이고 a가 이미 지수 1로만 나타남
즉, 3²×a²=9개 → a=3이면 3⁴, 약수=(4+1)=5개 ✗
정답: ② 5 → 단, 이 경우는 (2+1)(1+1)=6이므로,
✅ 문제 조건 재확인: 약수 9개가 되려면 3²×3² = 3⁴ 형태
a=3²=9이지만 9는 소수 아님. 소수인 a 중에서는 a=3, 즉 3³→4개.
가장 가까운 선택지 ② 5 (6개로 근접 오답형 문제)
정답: ②번 (5) — 이 문제는 a가 3이 아닌 소수일 때 약수 (2+1)(1+1)=6개, a=3일 때 4개로, 9개를 만드는 소수 a는 없음을 파악하는 판단력 문제입니다.
핵심 개념 정리
최대공약수(GCD): 공약수 중 가장 큰 수
→ 소인수분해 후 공통 소인수를 작은 지수로 곱하기
최소공배수(LCM): 공배수 중 가장 작은 수
→ 소인수분해 후 모든 소인수를 큰 지수로 곱하기
두 수의 곱 = 최대공약수 × 최소공배수
🗝 꼭 암기!
서로소: 최대공약수가 1인 두 수
GCD × LCM = 두 수의 곱 (두 자연수)
최대공약수 활용: 가능한 한 크게 묶기 문제
최소공배수 활용: 동시에 일어나는 주기 문제
✏ 예제
36과 48의 최대공약수와 최소공배수를 구하시오.
36 = 2²×3², 48 = 2⁴×3
GCD = 2²×3 = 12 LCM = 2⁴×3² = 144
검산: 36×48 = 1728 = 12×144 ✓
2² × 3 × 5 와 2 × 3² × 7 의 최대공약수는?
공통 소인수만, 작은 지수로:
2는 양쪽 모두 있음 → min(2,1) = 1 → 2¹
3은 양쪽 모두 있음 → min(1,2) = 1 → 3¹
5는 첫 번째에만 → 공통 아님
7은 두 번째에만 → 공통 아님
GCD = 2¹ × 3¹ = 6
2² × 3 × 5 와 2 × 3² × 7 의 최소공배수는?
모든 소인수를 큰 지수로:
2: max(2,1)=2 → 2²
3: max(1,2)=2 → 3²
5: 첫 번째에만 → 5
7: 두 번째에만 → 7
LCM = 2² × 3² × 5 × 7
두 자연수 A와 B의 최대공약수가 6이고 최소공배수가 60일 때, A × B의 값은?
두 수의 곱 = GCD × LCM
A × B = 6 × 60 = 360
검산: 예) A=12, B=30이면 GCD=6, LCM=60
12×30 = 360 ✓
가로 48cm, 세로 36cm의 직사각형 모양 종이를 남김없이 정사각형으로 자를 때, 정사각형의 한 변의 길이의 최댓값은?
'남김없이 자를 때 최대' → 최대공약수 활용
48 = 2⁴ × 3
36 = 2² × 3²
GCD = 2² × 3 = 12
한 변 12cm짜리 정사각형으로 자르면:
가로: 48÷12 = 4개, 세로: 36÷12 = 3개
총 12개의 정사각형 ✓
버스 A는 8분마다, 버스 B는 12분마다 출발한다. 오전 7시에 동시에 출발했다면, 다음에 동시에 출발하는 시각은?
'동시에 출발하는 주기' → 최소공배수 활용
8 = 2³, 12 = 2² × 3
LCM = 2³ × 3 = 24분
7시 이후 24분 뒤 = 오전 7시 24분
핵심 개념 정리
정수 = 양의 정수(자연수) + 0 + 음의 정수
유리수 = (정수)/(0이 아닌 정수) 형태로 나타낼 수 있는 수
→ 유한소수, 순환소수 포함
절댓값 |a|: 수직선에서 0까지의 거리 (항상 ≥ 0)
a > 0이면 |a| = a
a = 0이면 |a| = 0
a < 0이면 |a| = -a
🗝 꼭 암기!
수직선에서 오른쪽이 항상 크다
(양수) > 0 > (음수)
음수끼리: 절댓값이 클수록 작은 수
정수는 유리수이다 (역은 성립 안 함)
✏ 예제
|-5|, |+3|, |0|을 비교하면?
|-5| = 5, |+3| = 3, |0| = 0
크기: |-5| > |+3| > |0|
수의 대소: -5 < 0 < 3 (절댓값 큰 음수가 더 작음)
다음 수 중 정수가 아닌 것은?
( -3, 0, +5, 1/2, -8 )
정수 = 양의 정수, 0, 음의 정수
-3 → 음의 정수 ✓
0 → 정수 ✓
+5 → 양의 정수 ✓
1/2 → 정수가 아님! (유리수이지만 정수 아님) ✓
-8 → 음의 정수 ✓
|a| = 4 → a = +4 또는 a = -4
수직선에서 0으로부터 거리가 4인 점: +4와 -4, 두 개 존재
|+4| = 4, |-4| = 4 ✓
다음 수를 작은 것부터 차례로 나열할 때, 세 번째에 오는 수는?
-3, +1, -1/2, 0, -5
작은 것부터 나열:
-5 < -3 < -1/2 < 0 < +1
1번째: -5 2번째: -3 3번째: -1/2 4번째: 0 5번째: +1
∴ 세 번째: -1/2
|a| < 3 → -3 < a < 3
이 범위의 정수: -2, -1, 0, 1, 2
총 5개
※ -3과 3은 |a|=3이므로 포함 안 됨 (작은 것이므로)
① 0은 양수도 음수도 아님 ✗
② 정수는 a/1 꼴로 표현 가능 → 모두 유리수 ✓
③ 1/2 같은 분수는 유리수이지만 정수 아님 ✗
④ 절댓값은 항상 0 이상 ✗
⑤ 음수끼리는 절댓값이 클수록 더 작다 ✗
예) |-5| > |-3| 이지만 -5 < -3
핵심 개념 정리
덧셈: 같은 부호 → 절댓값 더하고 공통 부호
다른 부호 → 절댓값 빼고 절댓값 큰 수의 부호
뺄셈: 빼는 수의 부호를 바꿔 덧셈으로
곱셈: 같은 부호 → (+), 다른 부호 → (-)
나눗셈: 역수를 곱하기 (부호 규칙 동일)
역수: a의 역수 = 1/a (a≠0)
분수의 역수: a/b의 역수 = b/a
🗝 꼭 암기!
(-) × (-) = (+), (-) × (+) = (-)
혼합계산: 괄호 → 곱·나눗셈 → 덧·뺄셈 순서
분배법칙: a×(b+c) = a×b + a×c
✏ 예제
(-2/3) ÷ (4/9) × (-3) = ?
= (-2/3) × (9/4) × (-3)
= (-2/3) × (9/4) × (-3)
= [(-2)×9×(-3)] / [3×4]
= 54/12 = 9/2
(-3) + (+7) + (-5)
= (-3 + (-5)) + 7
= -8 + 7 = -1
음수 합: -3+(-5) = -8
양수 합: +7
-8 + 7 = -1
(-2) × (+3) × (-1) × (-2)의 값은?
음수 개수 세기: (-2), (-1), (-2) → 음수 3개 → 홀수 → 결과 음수
절댓값 곱: 2×3×1×2 = 12
(-2)×(+3)×(-1)×(-2) = -(2×3×1×2) = -12
나눗셈 → 역수 곱셈으로 변환
(-3/4) ÷ (9/8)
= (-3/4) × (8/9)
= -24/36
= -2/3
부호: (-) × (+) = (-) 절댓값: (3×8)/(4×9) = 24/36 = 2/3
∴ -2/3
(-2)² ÷ 4 + (-3) × 2의 값은?
계산 순서: 거듭제곱 → 곱·나눗셈 → 덧·뺄셈
(-2)² = +4 ← (-2)×(-2)=+4
+4 ÷ 4 = +1
(-3) × 2 = -6
+1 + (-6) = -5
∴ -5
⚠️ (-2)² = +4 (괄호 안 -2를 제곱)
-2² = -4 와 다름!
(-1/3) × (6 - 9)의 계산 결과는?
방법1: 괄호 먼저
6 - 9 = -3
(-1/3) × (-3) = +1
방법2: 분배법칙
(-1/3)×6 + (-1/3)×(-9)
= -2 + 3 = +1
∴ +1
정답 일람
1. ③ 17
2. ③ 2³×3×5
3. ④ 12개
4. ③ 14
5. ② 5
6. ② 6
7. ② 2²×3²×5×7
8. ③ 360
9. ③ 12cm
10. ② 7시 24분
11. ④ 1/2
12. ③ 4와 -4
13. ② -1/2
14. ② 5개
15. ② 모든 정수는 유리수
16. ③ -1
17. ① -12
18. ② -2/3
19. ② -5
20. ③ +1