중2-1 기말 수학 핵심 기출 20선

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연립방정식 — 가감법 · 대입법

미지수가 2개인 일차방정식 두 개를 한 쌍으로 묶은 것을 연립방정식이라 한다.

핵심 공식

가감법: 계수를 맞춘 뒤 더하거나 빼서 미지수 1개 소거
대입법: 한 식에서 x(또는 y)를 나타낸 뒤 다른 식에 대입

⭐ 암기 포인트

① 해가 없다: x계수비 = y계수비 ≠ 상수비 (평행)
② 해가 무수히 많다: x계수비 = y계수비 = 상수비 (일치)
③ 가감법 핵심: 없애려는 미지수의 계수를 같게 만든 뒤 더하거나 뺀다

✏️ 예제

x + 2y = 7, 3x − 2y = 1 을 가감법으로 풀어라.

두 식을 더하면: 4x = 8 → x = 2
①에 대입: 2 + 2y = 7 → y = 5/2
∴ x=2, y=5/2

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연립방정식의 활용

구하려는 양을 x, y로 놓고 두 가지 조건을 방정식으로 세운다.

자주 나오는 유형

• 두 자리수: 십의자리 a, 일의자리 b → 원래 수: 10a + b
• 바꾼 수: 10b + a
• 거리: (거리) = (속력) × (시간)
• 농도: (소금) = (농도/100) × (소금물 양)

⭐ 암기 포인트

풀이 순서: ① 미지수 설정 → ② 방정식 세우기 → ③ 풀기 → ④ 검산
십의자리↔일의자리 바꾼 수 = 10b + a

✏️ 예제

각 자리 숫자의 합이 9이고, 십·일 자리를 바꾼 수가 원래 수보다 27 크다면?

a+b=9 ①, (10b+a)=(10a+b)+27 → b−a=3 ②
①+②: 2b=12 → b=6, a=3
∴ 원래 수: 36

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일차함수 — 기울기와 절편

y = ax + b (a ≠ 0) 형태의 함수. a는 기울기, b는 y절편이다.

핵심 공식

기울기 a = (y의 증가량) / (x의 증가량) = (y₂−y₁) / (x₂−x₁)
x절편: y=0 → x = −b/a
y절편: x=0 → y = b

⭐ 암기 포인트

① a > 0: 오른쪽 위↗ (x↑ → y↑)
② a < 0: 오른쪽 아래↘ (x↑ → y↓)
③ |a| 클수록 → y축에 가까운 가파른 직선
④ b > 0: y축 양의 부분과 교차 / b < 0: y축 음의 부분과 교차
⑤ 두 직선 평행: 기울기 같고 y절편 다름

✏️ 예제

두 점 (1, 3), (3, 7)을 지나는 일차함수의 식을 구하라.

기울기 = (7−3)/(3−1) = 2
y = 2x + b에 (1,3) 대입: 3=2+b → b=1
∴ y = 2x + 1

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일차함수와 일차방정식의 관계

ax + by + c = 0 (b ≠ 0)은 y = −(a/b)x − (c/b) 로 변형되어 일차함수가 된다.

핵심 관계

연립방정식의 해 = 두 일차함수 그래프의 교점
교점 1개 → 기울기 다름 (해 1개)
교점 없음 → 기울기 같고 y절편 다름 (해 없음)
일치 → 기울기·y절편 모두 같음 (해 무수히 많음)

⭐ 암기 포인트

x = p: y축에 평행한 수직선
y = q: x축에 평행한 수평선
연립방정식 해 → 두 그래프 교점의 좌표

✏️ 예제

y = x + 1 과 y = −x + 3 의 교점을 구하라.

x+1 = −x+3 → 2x=2 → x=1, y=2
∴ 교점: (1, 2)

수학 핵심 기출 20선