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📚 2024 기출 완벽 반영

중3-1 기말 수학
핵심기출 20선

다항식의 곱셈 · 인수분해 · 이차방정식 · 이차함수

20문제 총 100점 제한 40분 ★★★★ 고난도
남은 시간
40:00
풀이 진행률 0 / 20 문제
1
다항식의 곱셈과 곱셈 공식
Ⅰ단원 · 핵심 공식 암기
✕
다항식의 곱셈 공식 6가지
① 합의 제곱
(a+b)² = a² + 2ab + b²
② 차의 제곱
(a-b)² = a² - 2ab + b²
③ 합차 공식
(a+b)(a-b) = a² - b²
④ 합·x 공식
(x+a)(x+b) = x² + (a+b)x + ab
⑤ acbd 공식
(ax+b)(cx+d) = acx² + (ad+bc)x + bd
⑥ 3항 제곱
(a+b+c)² = a²+b²+c² + 2ab+2bc+2ca
  • 공식 ①②: 부호 주의! 2ab 앞 부호가 다름
  • 공식 ③: 결과에 가운데 항이 없음
  • 공식 ④: 계수 합 → x항, 상수 곱 → 상수항
  • 공식 ⑥: 교차항 2ab, 2bc, 2ca 빠뜨리지 말 것
EXAMPLE
(2x − 3)² 를 전개하면?
(2x)² − 2·(2x)·3 + 3²
= 4x² − 12x + 9
답: 4x² − 12x + 9
⚡ 시험 POINT

곱셈 공식을 역방향으로 쓰면 바로 인수분해 공식이 됩니다. 두 방향 모두 완벽히 익히세요!

2
인수분해
Ⅰ단원 · 공통인수 → 공식 적용
÷
인수분해 공식 & 절차

인수분해: 다항식을 인수들의 곱으로 나타내는 것 (전개의 역)

인수분해 공식 (필수 4가지)
a² + 2ab + b² = (a+b)²
a² - 2ab + b² = (a-b)²
a² - b² = (a+b)(a-b)
x²+(a+b)x+ab = (x+a)(x+b)
  • STEP 1: 공통인수 먼저 묶기
  • STEP 2: 완전제곱식 판별: 첫항·끝항이 완전제곱수이고 가운데항 = 2√(첫항×끝항)?
  • STEP 3: 합차 공식: (큰수)²-(작은수)² 형태?
  • STEP 4: x²+(a+b)x+ab: 곱이 c이고 합이 b인 두 수 a, b 찾기
  • STEP 5: acx²+(ad+bc)x+bd: 십자곱셈법 활용
EXAMPLE
6x² + x − 2 를 인수분해하면?
십자곱셈법: 6x² = 3x·2x
−2 = (−1)·2 또는 1·(−2)
3x·2 + 2x·(−1) = 6x−2x = 4x ✗
3x·(−1) + 2x·2 = −3x+4x = x ✓
답: (3x + 2)(2x − 1)
3
이차방정식
Ⅱ단원 · 해법 4가지 마스터
x²
이차방정식 풀기 4가지 방법
근의 공식 (반드시 암기!)
ax² + bx + c = 0 일 때

x = (−b ± √(b²−4ac)) / 2a
  • 인수분해법: (x−α)(x−β)=0 → x=α, x=β
  • 제곱근법: (x+p)²=q → x = −p ± √q (단, q≥0)
  • 완전제곱식법: x²+bx → (x+ b/2)² − (b/2)² 변형
  • 근의 공식: 판별식 b²−4ac
    > 0: 서로 다른 두 근
    = 0: 중근 (같은 두 근)
    < 0: 실수 근 없음
  • 짝수 계수: b=2b' → x = (−b' ± √(b'²−ac)) / a
EXAMPLE
x² − 5x + 6 = 0 의 해를 구하면?
(x−2)(x−3) = 0
∴ x = 2 또는 x = 3
답: x = 2, x = 3
⚡ 근과 계수의 관계

두 근 α, β에 대해: α+β = −b/a, α·β = c/a
(검산에 매우 유용!)

4
이차함수
Ⅲ단원 · 그래프 특성 완벽 이해
∩
이차함수의 모든 것
표준형 (꼭짓점 형태)
y = a(x−p)² + q
꼭짓점: (p, q), 축: x = p
일반형
y = ax² + bx + c
꼭짓점: x = −b/(2a)
y절편: (0, c)
  • a > 0: 아래로 볼록 (최솟값 q), a < 0: 위로 볼록 (최댓값 q)
  • |a| 클수록 그래프 폭이 좁아짐
  • p > 0: 꼭짓점 x축 양의 방향 이동
  • q > 0: 꼭짓점 y축 양의 방향 이동
  • x절편: y=0으로 놓고 이차방정식 풀기
  • 판별식 D > 0: x절편 2개, D = 0: 1개, D < 0: 없음
EXAMPLE
y = 2x² − 8x + 5 의 꼭짓점은?
y = 2(x² − 4x) + 5
= 2(x−2)² − 8 + 5
= 2(x−2)² − 3
답: 꼭짓점 (2, −3)

📝 기말고사 핵심기출 20선

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1
Ⅰ단원 · 다항식의 곱셈
★★★★★
5점
다음을 전개하여 간단히 하면?
(x + 3)(x − 5) − (x − 2)²
📐 풀이과정
(x+3)(x−5) = x²−5x+3x−15 = x²−2x−15
(x−2)² = x²−4x+4
= (x²−2x−15) − (x²−4x+4)
= x²−2x−15 − x²+4x−4
= (1−1)x² + (−2+4)x + (−15−4)
= 2x − 19

⚠️ 함정: −(x²−4x+4)에서 부호 전환! −x²+4x−4 (부호 모두 반전)

정답: ① 2x − 19
2
Ⅰ단원 · 곱셈 공식 응용
★★★★★
5점
곱셈 공식을 이용하여 99² − 98 × 100 의 값을 구하면?
📐 풀이과정
99² − 98×100
= 99² − (99−1)(99+1)
= 99² − (99²−1) ← 합차 공식: (a−b)(a+b)=a²−b²
= 99² − 99² + 1
= 1
정답: ③ 1
3
Ⅰ단원 · 항등식 활용
★★★★★
5점
x + y = 5, xy = 3 일 때, x² + y² 의 값은?
📐 풀이과정
x² + y² = (x+y)² − 2xy
= 5² − 2×3
= 25 − 6
= 19

핵심: x²+y² = (x+y)² − 2xy 변환공식 암기!

정답: ② 19
4
Ⅰ단원 · 인수분해 기본
★★★★★
5점
x² − 7x + 12 를 인수분해하면?
📐 풀이과정
x²+(a+b)x+ab = (x+a)(x+b) 공식 사용
합: a+b = −7, 곱: ab = 12
두 수가 −3, −4이면: (−3)+(−4)=−7 ✓, (−3)×(−4)=12 ✓
∴ (x−3)(x−4)

⚠️ 함정: 곱이 양수(+12)이고 합이 음수(−7) → 두 수 모두 음수!

정답: ① (x−3)(x−4)
5
Ⅰ단원 · 완전제곱식
★★★★★
5점
x² − 10x + a 가 완전제곱식이 되려면 상수 a 의 값은?
📐 풀이과정
완전제곱식 조건: x²+bx+c = (x+p)² → c = (b/2)²
x² − 10x + a에서 b = −10
a = (−10/2)² = (−5)² = 25
검산: x²−10x+25 = (x−5)² ✓
정답: ③ 25
6
Ⅰ단원 · 인수분해 심화
★★★★★
5점
2x² + 7x + 3 을 인수분해하면?
📐 풀이과정
2x²+7x+3: 첫째항 계수 2, 상수항 3
십자곱셈: 2x·1 + x·3 = 2x+3x = 5x ✗
2x·3 + x·1 = 6x+x = 7x ✓
∴ (2x+1)(x+3)
검산: (2x+1)(x+3) = 2x²+6x+x+3 = 2x²+7x+3 ✓

※ ①과 ③은 같은 식이므로 정답은 ① = ③

정답: ① (2x+1)(x+3)
7
Ⅱ단원 · 이차방정식 풀기
★★★★★
5점
이차방정식 x² − 3x − 10 = 0 의 두 근의 합은?
📐 풀이과정
x²−3x−10 = 0
(x−5)(x+2) = 0
x = 5 또는 x = −2
두 근의 합: 5 + (−2) = 3

빠른 방법: 근과 계수 관계 → 두 근의 합 = −(−3)/1 = 3

정답: ③ 3
8
Ⅱ단원 · 완전제곱식으로 풀기
★★★★★
5점
이차방정식 x² − 6x − 2 = 0 을 완전제곱식으로 풀면?
📐 풀이과정
x²−6x−2 = 0
x²−6x = 2
x²−6x+9 = 2+9 ← 양변에 (6/2)²=9 더하기
(x−3)² = 11
x−3 = ±√11
∴ x = 3 ± √11
정답: ② x = 3 ± √11
9
Ⅱ단원 · 판별식
★★★★★
5점
이차방정식 x² − 2kx + k + 2 = 0 이 중근을 가질 때, 양수 k 의 값은?
📐 풀이과정
중근 조건: 판별식 D = 0
D = (−2k)² − 4×1×(k+2) = 0
4k² − 4k − 8 = 0
k² − k − 2 = 0
(k−2)(k+1) = 0
k = 2 또는 k = −1
양수 조건: ∴ k = 2
정답: ② 2
10
Ⅱ단원 · 이차방정식 활용
★★★★★
5점
연속하는 두 자연수의 제곱의 합이 85일 때, 두 자연수 중 큰 수는?
📐 풀이과정
연속하는 두 자연수: n, n+1 (n은 자연수)
n² + (n+1)² = 85
n² + n² + 2n + 1 = 85
2n² + 2n − 84 = 0
n² + n − 42 = 0
(n+7)(n−6) = 0
n = 6 (n은 자연수이므로 n=−7 제외)
∴ 두 수: 6, 7 → 큰 수 = 7
검산: 6²+7² = 36+49 = 85 ✓
정답: ③ 7
11
Ⅱ단원 · 근의 공식
★★★★★
5점
근의 공식을 이용하여 2x² + 3x − 1 = 0 을 풀면?
📐 풀이과정
a=2, b=3, c=−1
x = (−3 ± √(3²−4×2×(−1))) / (2×2)
= (−3 ± √(9+8)) / 4
= (−3 ± √17) / 4
정답: ① x = (−3 ± √17) / 4
12
Ⅱ단원 · 이차방정식 도형 활용
★★★★★
5점
가로의 길이가 세로의 길이보다 3 cm 긴 직사각형의 넓이가 40 cm²일 때, 가로의 길이는?
📐 풀이과정
세로의 길이 = x cm, 가로 = x+3 cm
x(x+3) = 40
x²+3x−40 = 0
(x+8)(x−5) = 0
x = 5 (길이이므로 x=−8 제외)
∴ 가로 = 5+3 = 8 cm
검산: 5×8 = 40 cm² ✓
정답: ③ 8 cm
13
Ⅲ단원 · 이차함수 기본
★★★★★
5점
이차함수 y = −2(x−1)² + 3 에 대한 설명으로 옳지 않은 것은?
📐 풀이과정
y = −2(x−1)² + 3에서 a=−2, p=1, q=3
① 꼭짓점 (p,q) = (1,3) → 옳음 ✓
② 축: x=p=1 → 옳음 ✓
③ a=−2<0 → 위로 볼록 → 옳음 ✓
④ 위로 볼록이면 꼭짓점 오른쪽(x>1)에서 x↑→y↓ → 틀림 ✗
⑤ a<0이므로 최댓값=q=3 → 옳음 ✓
정답: ④ (x>1에서 x가 커질수록 y는 작아짐)
14
Ⅲ단원 · 꼭짓점과 표준형
★★★★★
5점
y = x² − 4x + 7 의 꼭짓점의 좌표는?
📐 풀이과정
y = x²−4x+7
= (x²−4x+4) + 7−4 ← +4 보완, −4 조정
= (x−2)² + 3
∴ 꼭짓점 (2, 3)

⚠️ 함정: 7을 꼭짓점 y좌표로 착각하지 말 것! 완전제곱식 변환 필수

정답: ① (2, 3)
15
Ⅲ단원 · 이차함수 그래프 이동
★★★★★
5점
y = 3x² 의 그래프를 x축 방향으로 2만큼, y축 방향으로 −1만큼 평행이동한 그래프의 식은?
📐 풀이과정
y = ax²를 x축으로 p, y축으로 q 이동: y = a(x−p)² + q
p = 2 (x축 방향 +2), q = −1 (y축 방향 −1)
∴ y = 3(x−2)² + (−1) = 3(x−2)² − 1

⚠️ x축으로 +2 이동 → (x−2), 부호 반전에 주의!

정답: ② y = 3(x−2)² − 1
16
Ⅲ단원 · 이차함수 식 구하기
★★★★★
5점
꼭짓점이 (−1, 4) 이고 점 (1, 0) 을 지나는 이차함수의 식은?
📐 풀이과정
꼭짓점 (−1, 4) → y = a(x+1)² + 4
점 (1, 0) 대입: 0 = a(1+1)² + 4
0 = 4a + 4
4a = −4 → a = −1
∴ y = −(x+1)² + 4
검산: x=1 대입: −(2)²+4 = −4+4 = 0 ✓
정답: ① y = −(x+1)² + 4
17
Ⅲ단원 · x절편 구하기
★★★★★
5점
y = x² − 2x − 3 의 x절편의 합은?
📐 풀이과정
x절편: y = 0으로 놓음
x²−2x−3 = 0
(x−3)(x+1) = 0
x = 3 또는 x = −1
x절편의 합 = 3 + (−1) = 2

빠른 방법: 근과 계수의 관계 → 두 근의 합 = −(−2)/1 = 2

정답: ③ 2
18
Ⅲ단원 · 이차함수 최대·최소
★★★★★
5점
0 ≤ x ≤ 4 에서 y = −x² + 4x − 1 의 최댓값과 최솟값의 합은?
📐 풀이과정
y = −x²+4x−1 = −(x²−4x)−1
= −(x²−4x+4)+4−1 = −(x−2)²+3
꼭짓점 (2, 3), 위로 볼록 (a=−1<0)
0≤x≤4에서 x=0: y=−0+0−1=−1
x=2: y=−(0)+3=3 (최댓값)
x=4: y=−16+16−1=−1
최댓값=3, 최솟값=−1 (x=0 또는 x=4)
합 = 3 + (−1) = 2
정답: ③ 2
19
Ⅲ단원 · 이차함수 활용 (고난도)
★★★★★
5점
x축과 점 (2, 0), (6, 0) 에서 만나고 y절편이 −12 인 이차함수의 식은?
📐 풀이과정
x절편이 2, 6이므로: y = a(x−2)(x−6)
y절편: x=0 대입 → y = a(−2)(−6) = 12a
y절편 = −12이므로: 12a = −12 → a = −1
y = −(x−2)(x−6)
= −(x²−8x+12)
= −x² + 8x − 12
검산: x=0 → 0+0−12=−12 ✓, x=2→−4+16−12=0 ✓
정답: ② y = −x² + 8x − 12
20
통합 · 최고난도 (★★★★★)
★★★★★
5점
이차함수 y = ax² + bx + c 의 그래프가 꼭짓점 (1, −3) 을 갖고, 이차방정식 ax² + bx + c = 0 의 두 근의 곱이 −2 일 때, 상수 a의 값은?
📐 풀이과정
꼭짓점 (1, −3) → y = a(x−1)² − 3
전개: y = a(x²−2x+1)−3 = ax²−2ax+(a−3)
따라서 b = −2a, c = a−3
ax²+bx+c=0의 두 근의 곱: c/a = −2
(a−3)/a = −2
a−3 = −2a
3a = 3 → a = 1
검산: a=1이면 c=1−3=−2, c/a=−2/1=−2 ✓
정답: ② 1
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중3-1 기말 수학 핵심기출 20선

이름: _________________ | 반: _____ | 점수: _____ / 100점