2024 · 중학교 3학년 1학기

기말고사
수학 핵심 기출

전 단원 핵심 20문제 · 실전 난이도 · 즉시 해설

Ⅰ 제곱근과 실수 Ⅱ 다항식의 곱셈 Ⅲ 인수분해 Ⅳ 이차방정식

📚 단원별 핵심 개념

암기사항과 예제를 확인하세요

Ⅰ
제곱근과 실수
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핵심 개념

  • $a \geq 0$ 일 때, $\sqrt{a}$는 $a$의 양의 제곱근 (음의 제곱근: $-\sqrt{a}$)
  • $(\sqrt{a})^2 = a \quad (a \geq 0)$
  • $\sqrt{a^2} = |a|$ → $a \geq 0$이면 $a$, $a < 0$이면 $-a$
  • 유리수 + 무리수 = 실수 (수직선 위 모든 점)
  • 무리수: $\sqrt{2}, \sqrt{3}, \pi$ 등 순환하지 않는 무한소수

제곱근의 연산 (근호 계산)

  • $\sqrt{a} \times \sqrt{b} = \sqrt{ab}$ ($a,b \geq 0$)
  • $\sqrt{a} \div \sqrt{b} = \sqrt{\dfrac{a}{b}}$ ($a \geq 0, b > 0$)
  • $\sqrt{a^2 b} = a\sqrt{b}$ ($a > 0, b > 0$) → 근호 밖으로
  • $m\sqrt{a} \pm n\sqrt{a} = (m \pm n)\sqrt{a}$ → 동류항처럼 계산
  • 분모의 유리화: $\dfrac{a}{\sqrt{b}} = \dfrac{a\sqrt{b}}{b}$

⚠️ 반드시 암기

  • $\sqrt{4}=2,\ \sqrt{9}=3,\ \sqrt{16}=4,\ \sqrt{25}=5,\ \sqrt{36}=6$
  • $\sqrt{2} \approx 1.414,\ \sqrt{3} \approx 1.732,\ \sqrt{5} \approx 2.236$
  • $\sqrt{a^2} = |a|$ (부호 조심!)
  • $(\sqrt{a})^2 = a$ ($a \geq 0$일 때만 성립)
  • $(-\sqrt{a})^2 = a$ (음수의 제곱도 양수)

📝 예제

$\sqrt{12} - \sqrt{3} + \dfrac{6}{\sqrt{3}}$ 를 계산하시오.

풀이: $\sqrt{12}=2\sqrt{3},\ \dfrac{6}{\sqrt{3}}=\dfrac{6\sqrt{3}}{3}=2\sqrt{3}$
∴ $2\sqrt{3}-\sqrt{3}+2\sqrt{3}=3\sqrt{3}$
Ⅱ
다항식의 곱셈
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곱셈 공식 (필수 5가지)

  • $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$
  • $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$
  • $(a+b)(a-b) = a^2 - b^2$
  • $(x+a)(x+b) = x^2 + (a+b)x + ab$
  • $(ax+b)(cx+d) = acx^2 + (ad+bc)x + bd$

⚠️ 반드시 암기

  • $(a+b)^2 \neq a^2+b^2$ → 반드시 $2ab$ 항 포함!
  • 곱셈 공식 역방향 = 인수분해 공식
  • 전개 후 동류항 정리 필수
  • $\left(a+\dfrac{1}{a}\right)^2 = a^2 + 2 + \dfrac{1}{a^2}$

📝 예제

$103^2$을 곱셈 공식을 이용하여 계산하시오.

풀이: $(100+3)^2 = 10000 + 600 + 9 = 10609$

📝 예제2

$x - \dfrac{1}{x} = 3$일 때, $x^2 + \dfrac{1}{x^2}$의 값은?

풀이: $\left(x-\dfrac{1}{x}\right)^2 = x^2 - 2 + \dfrac{1}{x^2} = 9$
∴ $x^2 + \dfrac{1}{x^2} = 11$
Ⅲ
인수분해
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인수분해 공식 (필수 4가지)

  • 공통인수: $ma + mb = m(a+b)$
  • 완전제곱식: $a^2 + 2ab + b^2 = (a+b)^2$
  • 완전제곱식: $a^2 - 2ab + b^2 = (a-b)^2$
  • 합차 공식: $a^2 - b^2 = (a+b)(a-b)$
  • $x^2 + (a+b)x + ab = (x+a)(x+b)$

⚠️ 인수분해 순서

  • ① 공통인수 먼저 묶기
  • ② 항 수에 따라 공식 적용
  • ③ 더 인수분해 가능한지 확인
  • ④ 전개하여 검산!

📝 예제

$x^2 - 5x + 6$을 인수분해하시오.

풀이: 합이 $-5$, 곱이 $6$인 두 수 → $-2, -3$
∴ $(x-2)(x-3)$

📝 예제2

$2x^2y - 8y$를 인수분해하시오.

풀이: $2y(x^2-4) = 2y(x+2)(x-2)$
Ⅳ
이차방정식
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이차방정식 풀이 방법

  • ① 인수분해: $ax^2+bx+c=0$ → $(x-p)(x-q)=0$ → $x=p$ 또는 $x=q$
  • ② 완전제곱식: $(x+p)^2=q$ → $x = -p \pm \sqrt{q}$
  • ③ 근의 공식: $x = \dfrac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}$

판별식과 근의 개수

  • 판별식 $D = b^2 - 4ac$
  • $D > 0$ : 서로 다른 두 실근
  • $D = 0$ : 중근 (실근 1개)
  • $D < 0$ : 실근 없음 (허근)

⚠️ 근과 계수의 관계

  • 두 근의 합: $\alpha + \beta = -\dfrac{b}{a}$
  • 두 근의 곱: $\alpha \beta = \dfrac{c}{a}$
  • $x^2 - (\alpha+\beta)x + \alpha\beta = 0$ (역으로 방정식 만들기)

📝 예제

$x^2 - 3x - 4 = 0$을 풀어라.

풀이: $(x-4)(x+1)=0$ → $x=4$ 또는 $x=-1$

📝 예제2

$2x^2 - 5x + 1 = 0$을 근의 공식으로 풀어라.

풀이: $x = \dfrac{5 \pm \sqrt{25-8}}{4} = \dfrac{5 \pm \sqrt{17}}{4}$
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