중3-1 기말 수학 핵심문제 20선 | 실전 기출 완벽대비

핵심 개념 & 암기 정리

Ⅰ. 제곱근과 실수 단원 1

📌 제곱근의 뜻과 성질

√(a²) = |a| = a (a≥0), -a (a<0)

★ a가 음수일 때 √(a²) = -a (양수) 임을 주의!

a > 0 이면 √a > 0, 양의 제곱근은 1개
0의 제곱근은 0 하나뿐
음수의 제곱근은 실수 범위에서 없다
√(ab) = √a · √b (a≥0, b≥0)
√(a/b) = √a / √b (a≥0, b>0)
(√a)² = a (a≥0) ← 제곱과 루트는 서로 역연산

예제

√(-3)² = √9 = 3 / -√(-5)² = -√25 = -5

Ⅰ. 무리수와 실수 단원 1

📌 실수의 분류 & 무리수 판별

실수 = 유리수 ∪ 무리수

유리수: 분수로 나타낼 수 있는 수 | 무리수: √(완전제곱수) 가 아닌 √

√2, √3, π 는 무리수 (순환하지 않는 무한소수)
√4 = 2, √9 = 3 처럼 결과가 정수이면 유리수
수직선 위에서 무리수도 점으로 나타낼 수 있다
실수는 수직선을 빈틈없이 채운다

예제

무리수: √5, √7, 2√3 / 유리수: √16=4, √(1/9)=1/3

Ⅱ. 인수분해 공식 단원 2

📌 4가지 인수분해 공식 (완전 암기 필수)

① a² + 2ab + b² = (a+b)²

② a² - 2ab + b² = (a-b)²

③ a² - b² = (a+b)(a-b)

④ x² + (a+b)x + ab = (x+a)(x+b)

공통인수가 있으면 먼저 묶어내기
완전제곱식: 첫째·셋째항이 완전제곱수, 가운데=2배 확인
합차공식: a²-b² 꼴 → 덧셈·뺄셈 두 인수

예제

x² + 6x + 9 = (x+3)² / 4x² - 9 = (2x+3)(2x-3)

Ⅲ. 이차방정식 단원 3

📌 이차방정식의 풀이법 & 근의 공식

ax² + bx + c = 0 의 근:
x = (-b ± √(b²-4ac)) / 2a

판별식 D = b²-4ac: D>0 두근, D=0 중근, D<0 근 없음

근과 계수의 관계

두 근의 합 = -b/a | 두 근의 곱 = c/a

인수분해 → 완전제곱식 → 근의 공식 순서로 시도
(x-a)(x-b)=0 이면 x=a 또는 x=b
a는 이차항의 계수 → 반드시 a≠0

예제

x² - 5x + 6 = 0 → (x-2)(x-3) = 0 → x=2 또는 x=3

실전 문제 풀기

제곱근의 성질 중

다음 중 옳은 것은?

① √(-4)² = -4

② -√4 = 2

③ √0.01 = 0.1인데 이는 무리수이다

④ √(-4)² = 4

⑤ √4² = -4 (4>0이므로)

풀이: √(-4)² = √16 = 4 → ④ 정답 ① √(-4)² = √16 = 4 (음수가 아님) ② -√4 = -2 (루트 안이 4이므로 √4=2, 앞의 -가 붙어 -2) ③ √0.01 = 0.1이지만 0.1 = 1/10 이므로 유리수 ⑤ √(4²) = √16 = 4 (양수)

제곱근의 계산 중

√48 − 2√3 + √75 를 간단히 하면?

① 3√3

② 4√3

③ 7√3

④ 8√3

⑤ 9√3

풀이: √48 = √(16×3) = 4√3 √75 = √(25×3) = 5√3 4√3 − 2√3 + 5√3 = (4−2+5)√3 = 7√3

분모의 유리화 중

6 / √3 를 유리화하면?

① √3

② 2√3

③ 3√3

④ 6√3

⑤ 18√3

풀이: 6/√3 = 6×√3 / (√3×√3) = 6√3 / 3 = 2√3

무리수의 대소비교 상

다음 수를 수직선 위에 나타낼 때, 가장 왼쪽에 있는 수는?

① √5

② 2

③ √3

④ 1.5

⑤ √2

풀이: 각각 제곱하여 비교 (모두 양수이므로 제곱 비교 가능) √5 ≈ 2.236, 2 = 2, √3 ≈ 1.732, 1.5 = 1.5, √2 ≈ 1.414 1.414 < 1.5 < 1.732 < 2 < 2.236 가장 작은 수 = 가장 왼쪽 = √2

제곱근 조건 계산 상

a < 0 일 때, √(a²) − √(4a²) 를 간단히 하면?

① 3a

② -3a

③ a

④ -a

⑤ -3a²

풀이: a < 0 이므로 √(a²) = |a| = -a √(4a²) = 2|a| = -2a (a<0이므로 |a|=-a) √(a²) − √(4a²) = (-a) − (-2a) = -a + 2a = a 가 아니라... -a − (-2a) = -a + 2a = a? → 잠깐! 다시 정리 √(a²) = -a, √(4a²) = 2√(a²) = 2(-a) = -2a 결과: (-a) − (-2a) = -a + 2a = a 단, a < 0 이므로 a는 음수. 보기 ④ "-a"는 양수 ≠ 정답 계산 결과가 a (음수값 그대로) 이므로 정답은 a (③번) 주의: a < 0 조건에서 -a는 양수, a는 음수임을 혼동 금지

인수분해 - 완전제곱식 중

다음 중 완전제곱식으로 인수분해되는 것은?

① x² + 4x + 2

② x² − 6x + 9

③ x² + 5x + 6

④ x² − 3x + 2

⑤ x² + 7x + 12

풀이: 완전제곱식 조건: x² + bx + c 에서 c = (b/2)² ① c=2, (4/2)²=4 → 2≠4, 불가 ② c=9, (-6/2)²=9 → 9=9 ✓ → (x-3)² ③ (5/2)²=6.25 ≠ 6 불가 (하지만 (x+2)(x+3)으로 인수분해 가능) ④ c=2, (-3/2)²=2.25 ≠ 2 불가

인수분해 - 합차공식 중

9x² − 16y² 을 인수분해하면?

① (3x − 4y)²

② (9x − 16y)(x + y)

③ (3x + 4y)(3x − 4y)

④ (3x + 4y)²

⑤ (9x + 4y)(x − 4y)

풀이: a² - b² = (a+b)(a-b) 공식 이용 9x² = (3x)², 16y² = (4y)² 9x² − 16y² = (3x)² − (4y)² = (3x+4y)(3x−4y)

인수분해 - 공통인수 상

2x² + 8x − 10 을 인수분해하면?

① 2(x + 1)(x − 5)

② 2(x − 1)(x − 5)

③ (2x + 2)(x − 5)

④ 2(x − 1)(x + 5)

⑤ 2(x + 5)(x + 1)

풀이: 공통인수 2를 먼저 묶기: 2(x² + 4x − 5) x² + 4x − 5 인수분해: 두 수의 합=4, 곱=-5 → 5와 -1 x² + 4x − 5 = (x+5)(x−1) 최종: 2(x−1)(x+5)

인수분해 활용 계산 상

인수분해를 이용하여 103² − 97² 의 값을 구하면?

① 600

② 900

③ 1200

④ 1800

⑤ 3600

풀이: a² − b² = (a+b)(a−b) 공식 이용 103² − 97² = (103+97)(103−97) = 200 × 6 = 1200

인수분해 - 치환 최상

(x+1)² − 3(x+1) − 10 을 인수분해하면? (단, A = x+1 로 치환)

① (x−4)(x+3)

② (x−4)(x+2)

③ (x+4)(x−3)

④ (x−1)(x+3)

⑤ (x+6)(x−2)

풀이: A = x+1 로 놓으면: A² − 3A − 10 두 수의 합=-3, 곱=-10 → (-5)와 2 A² − 3A − 10 = (A−5)(A+2) A = x+1 대입: (x+1−5)(x+1+2) = (x−4)(x+3) 검증: 전개하면 (x-4)(x+3)=x²-x-12, 원식도 x²-x-12 ✓

이차방정식 - 인수분해 풀이 중

이차방정식 x² − 7x + 12 = 0 의 두 근의 합은?

① 3

② 4

③ 5

④ 7

⑤ 12

풀이: x² − 7x + 12 = (x−3)(x−4) = 0 두 근: x = 3 또는 x = 4 두 근의 합: 3 + 4 = 7 ※ 근과 계수 관계로도: -b/a = -(-7)/1 = 7 ✓

이차방정식 - 완전제곱식 중

x² + 6x − 1 = 0 을 (x+a)² = b 꼴로 변형할 때, a+b의 값은?

① 8

② 13

③ 12

④ 10

⑤ 6

풀이: x² + 6x = 1 양변에 (6/2)² = 9 를 더함: x² + 6x + 9 = 1 + 9 = 10 (x+3)² = 10 → a = 3, b = 10 a + b = 3 + 10 = 13

근의 공식 상

2x² − 3x − 2 = 0 의 두 근 중 양의 근은?

① 1/2

② 1

③ 2

④ 3/2

⑤ 3

풀이: 인수분해: 2x² − 3x − 2 = (2x+1)(x−2) = 0 검증: (2x+1)(x-2) = 2x²-4x+x-2 = 2x²-3x-2 ✓ 두 근: x = -1/2 또는 x = 2 양의 근: x = 2

판별식 상

이차방정식 x² + kx + 9 = 0 이 중근을 가질 때, 양수 k의 값은?

① 3

② 6

③ 9

④ −6

⑤ 18

풀이: 중근 조건: 판별식 D = b² − 4ac = 0 D = k² − 4×1×9 = k² − 36 = 0 k² = 36 → k = ±6 양수 k = 6

이차방정식 근의 조건 최상

이차방정식 x² + ax + b = 0 의 두 근이 2와 -3일 때, a − b의 값은?

① -7

② -5

③ 5

④ 7

⑤ 1

풀이: 근과 계수 관계 이용 두 근의 합 = -a/1 = -a → 2 + (-3) = -1 → a = 1 두 근의 곱 = b/1 = b → 2 × (-3) = -6 → b = -6 a − b = 1 − (-6) = 1 + 6 = 7

이차방정식 활용 - 수 상

연속하는 두 자연수의 곱이 72일 때, 두 수의 합은?

① 13

② 14

③ 15

④ 17

⑤ 19

풀이: 연속하는 두 자연수를 n, n+1 로 놓으면 n(n+1) = 72 → n² + n − 72 = 0 인수분해: (n+9)(n−8) = 0 → n = 8 (자연수이므로 n=-9 기각) 두 수: 8과 9 → 합 = 8 + 9 = 17

이차방정식 활용 - 도형 최상

가로의 길이가 세로의 길이보다 3 cm 더 긴 직사각형의 넓이가 40 cm² 일 때, 세로의 길이는?

① 4 cm

② 5 cm

③ 6 cm

④ 7 cm

⑤ 8 cm

풀이: 세로 = x cm, 가로 = (x+3) cm 로 놓으면 x(x+3) = 40 → x² + 3x − 40 = 0 인수분해: (x+8)(x−5) = 0 → x = 5 (x=-8 기각, 길이는 양수) 세로 = 5 cm

제곱근 · 무리수 종합 최상

√2 = 1.414, √5 = 2.236 일 때, √50 + √20 − √8 의 값은?

① 5√2 + 2√5

② 5√2 + √5

③ 3√2 + 2√5

④ 3√2 + √5

⑤ 7√2 + 2√5

풀이: √50 = √(25×2) = 5√2 √20 = √(4×5) = 2√5 √8 = √(4×2) = 2√2 5√2 + 2√5 − 2√2 = (5−2)√2 + 2√5 = 3√2 + 2√5 수치: 3×1.414 + 2×2.236 = 4.242 + 4.472 ≈ 8.714

인수분해 종합 최상

다음 식을 인수분해할 때, 모든 인수의 합에서 상수항의 합은? 3x² − 12

① 3(x+2)(x−2) 이고 인수 3개의 상수항 합은 3

② 3(x+2)(x−2) 이고 상수항 합은 0 (3엔 상수항 없음, +2−2=0)

③ (3x+6)(x−2) 이고 상수항 합은 4

④ 3(x²−4) 만이 최종 답

⑤ (3x−6)(x+2) 이고 상수항 합은 -4

풀이: 3x² − 12 = 3(x² − 4) = 3(x+2)(x−2) 세 인수: 3, (x+2), (x−2) 상수 인수 3은 상수항=3, (x+2)의 상수항=+2, (x−2)의 상수항=−2 상수항들의 합: 3+2+(−2) = 3이지만, 문제의 의도: 완전히 인수분해된 결과는 3(x+2)(x−2)이고, (x±2) 형태 인수들의 상수 합 = +2+(−2) = 0 정답 ②: 올바른 인수분해 + 상수항 합 0

이차방정식 종합 최고난도 최상

이차방정식 x² − (k+2)x + 2k = 0 의 한 근이 x=2일 때, 나머지 한 근은?

① 1

② 2

③ 2k

④ k (k의 값을 구하면 됨)

⑤ 3

풀이: x=2를 방정식에 대입: 4 − (k+2)×2 + 2k = 0 4 − 2k − 4 + 2k = 0 → 0 = 0 k가 어떤 값이어도 x=2는 항상 근! → x=2로 인수분해 시도 x² − (k+2)x + 2k = (x−2)(x−k) 검증: (x−2)(x−k) = x²−(k+2)x+2k ✓ 나머지 한 근: x = k