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$a>0,\ a\neq 1$이고 $m, n$이 실수일 때 다음이 성립한다.
$a^{m}\times a^{n}=a^{m+n}, \quad \dfrac{a^{m}}{a^{n}}=a^{m-n}, \quad (a^{m})^{n}=a^{mn}, \quad (ab)^{n}=a^{n}b^{n}$
특히 거듭제곱근은 $\sqrt[n]{a}=a^{\frac{1}{n}}$, $\sqrt[n]{a^{m}}=a^{\frac{m}{n}}$ 로 지수 형태로 바꾸어 계산하는 것이 기출 풀이의 핵심이다.
$a>0,\ a\neq1,\ M>0,\ N>0$ 일 때
① $\log_a MN=\log_a M+\log_a N$ ② $\log_a \dfrac{M}{N}=\log_a M-\log_a N$
③ $\log_a M^{k}=k\log_a M$ ④ 밑변환공식 $\log_a b=\dfrac{\log_c b}{\log_c a}$ ($c>0,c\neq1$)
⑤ $\log_a b=\dfrac{1}{\log_b a}$ ⑥ $a^{\log_a b}=b$, $\log_a 1 = 0,\ \log_a a = 1$
예제. $\log_2 6 + \log_2 \dfrac{4}{3}$ 의 값을 구하시오.
풀이: $\log_2 6+\log_2\dfrac{4}{3}=\log_2\left(6\times\dfrac{4}{3}\right)=\log_2 8 = 3$ → 답: 3
$8^{\frac{2}{3}} + 27^{-\frac{1}{3}} \times 9$ 의 값은?
$\log_2 8 + \log_3 \dfrac{1}{9}$ 의 값은?
지수방정식 $a^{2x}+pa^{x}+q=0$ 꼴은 $t=a^{x}\ (t>0)$ 로 치환해 이차방정식으로 바꾼다. 단, $t>0$ 조건을 반드시 확인해야 한다.
로그방정식은 진수조건($\text{진수}>0$)과 밑조건($\text{밑}>0,\ \text{밑}\neq1$)을 먼저 확인한 뒤 식을 정리하고, 구한 해가 조건을 만족하는지 반드시 검산한다.
① 정의역(진수>0, 밑조건) 확인 → ② 치환 또는 로그성질로 식 정리 →
③ 방정식을 풀어 후보해 산출 → ④ 원래 정의역에 대입해 검산(필수!)
→ 기출에서 가장 많이 틀리는 지점은 ①과 ④를 생략하는 것이다.
예제. 방정식 $\log_3(x+2)=2$ 를 풀어라.
풀이: 진수조건 $x+2>0$. $x+2=3^2=9$ 이므로 $x=7$ (조건 만족) → 답: $x=7$
방정식 $\log_2(x-1)+\log_2(x+1)=3$ 의 해는?
방정식 $4^{x}-2^{x+2}-32=0$ 의 해는?
지수함수 $y=a^{x-m}+n$ 의 그래프는 $y=a^{x}$ 을 $x$축으로 $m$, $y$축으로 $n$ 만큼 평행이동한 것이며, 점근선은 $y=n$ 이다.
로그함수 $y=\log_a(x-m)+n$ 의 그래프는 $y=\log_a x$ 을 평행이동한 것이며, 점근선은 $x=m$ 이고 정의역은 $x>m$ 이다.
함수 $y=2^{x-1}+3$ 의 그래프의 점근선의 방정식을 $y=a$, $y$절편을 $b$라 할 때, $a+b$의 값은?
함수 $y=\log_2(x^{2}-4x+3)$ 의 정의역은?
$180°=\pi$(라디안)이며, 일반각 $\theta$의 삼각함수 값은 단위원 위의 점의 좌표로 정의된다. 둔각이나 제2~4사분면 각은 기준각(보각·여각)으로 환원하여 부호를 결정한다.
예: $\sin(\pi-\theta)=\sin\theta,\quad \cos(\pi-\theta)=-\cos\theta,\quad \sin(\pi+\theta)=-\sin\theta$
1사분면: 모두 + / 2사분면: $\sin$만 + / 3사분면: $\tan$만 + / 4사분면: $\cos$만 +
$\sin\dfrac{\pi}{6}=\dfrac12,\ \sin\dfrac{\pi}{4}=\dfrac{\sqrt2}{2},\ \sin\dfrac{\pi}{3}=\dfrac{\sqrt3}{2}$
$\cos\dfrac{\pi}{6}=\dfrac{\sqrt3}{2},\ \cos\dfrac{\pi}{4}=\dfrac{\sqrt2}{2},\ \cos\dfrac{\pi}{3}=\dfrac12$
삼각함수의 기본 관계식: $\sin^2\theta+\cos^2\theta=1,\quad \tan\theta=\dfrac{\sin\theta}{\cos\theta}$
예제. $\cos\dfrac{2\pi}{3}$ 의 값을 구하시오.
풀이: $\dfrac{2\pi}{3}=\pi-\dfrac{\pi}{3}$ 이므로 $\cos\left(\pi-\dfrac{\pi}{3}\right)=-\cos\dfrac{\pi}{3}=-\dfrac12$ → 답: $-\dfrac12$
$\sin\dfrac{5\pi}{6}$ 의 값은?
$\sin\theta=k$ 꼴의 방정식은 단위원에서 $y$좌표가 $k$인 점을, $\cos\theta=k$는 $x$좌표가 $k$인 점을 찾아 $0\le\theta<2\pi$ 범위의 모든 해를 구한다. 그래프(개형)를 그려 대칭성을 활용하면 실수를 줄일 수 있다.
$0\le\theta<2\pi$ 일 때, 방정식 $2\sin\theta-1=0$ 의 모든 해의 합은?
$y=a\sin(bx+c)+d$ 에서 주기는 $\dfrac{2\pi}{|b|}$, 최댓값은 $|a|+d$, 최솟값은 $-|a|+d$ 이다. $\cos, \tan$ 함수도 같은 방식으로 변형하여 분석한다. (단, $\tan$의 주기는 $\dfrac{\pi}{|b|}$)
함수 $y=3\sin\left(2x-\dfrac{\pi}{3}\right)+1$ 의 주기를 $p$, 최댓값을 $M$이라 할 때, $p+M$의 값은?
사인법칙: 삼각형 $ABC$의 외접원의 반지름을 $R$이라 하면 $\dfrac{a}{\sin A}=\dfrac{b}{\sin B}=\dfrac{c}{\sin C}=2R$
코사인법칙: $a^{2}=b^{2}+c^{2}-2bc\cos A$ (두 변과 끼인각을 알 때 나머지 변을 구함)
삼각형의 넓이: $S=\dfrac12 ab\sin C$ (두 변과 끼인각을 알 때 넓이를 구함)
① 두 각 + 한 변 또는 두 변 + 한 대각 → 사인법칙
② 두 변 + 끼인각 → 코사인법칙으로 나머지 변, 또는 넓이공식
③ 세 변을 알 때 각을 구함 → 코사인법칙 변형: $\cos A=\dfrac{b^2+c^2-a^2}{2bc}$
예제. 삼각형 $ABC$에서 $b=3, c=4, A=60°$일 때 변 $a$의 길이를 구하라.
풀이: $a^2=3^2+4^2-2\cdot3\cdot4\cos60°=9+16-12=13$ → 답: $a=\sqrt{13}$
삼각형 $ABC$에서 $a=6,\ b=4,\ C=60°$일 때, 변 $c$의 길이는?
삼각형 $ABC$에서 $a=5,\ b=8,\ C=30°$일 때, 삼각형의 넓이는?
$\sin\theta+\cos\theta=k$ 가 주어지면 양변을 제곱하여 $\sin^2\theta+2\sin\theta\cos\theta+\cos^2\theta=k^2$, 즉 $1+2\sin\theta\cos\theta=k^2$ 에서 $\sin\theta\cos\theta=\dfrac{k^2-1}{2}$ 를 얻는다.
세제곱의 합 공식 $\sin^3\theta+\cos^3\theta=(\sin\theta+\cos\theta)(1-\sin\theta\cos\theta)$ 와 결합해 고난도 문제에 활용한다.
$\sin\theta+\cos\theta=\dfrac12$ 일 때, $\sin^3\theta+\cos^3\theta$ 의 값은?
첫째항 $a_1=a$, 공차 $d$인 등차수열의 일반항은 $a_n=a+(n-1)d$ 이다. 두 항이 주어지면 연립방정식을 세워 $a, d$를 구한 뒤 원하는 항을 계산한다.
등차: $a_n=a_1+(n-1)d, \quad S_n=\dfrac{n\{2a_1+(n-1)d\}}{2}=\dfrac{n(a_1+a_n)}{2}$
등비: $a_n=a_1 r^{\,n-1}, \quad S_n=\dfrac{a_1(r^n-1)}{r-1}\ (r\neq1), \quad S_n=na_1\ (r=1)$
등차중항: $2b=a+c$ 등비중항: $b^2=ac$
예제. 첫째항이 5, 공차가 2인 등차수열의 제8항을 구하라.
풀이: $a_8=5+(8-1)\times2=5+14=19$ → 답: 19
등차수열 $\{a_n\}$에서 $a_3=7,\ a_7=19$ 일 때, $a_{20}$의 값은?
등비수열에서 두 항의 비를 이용하면 공비 $r$을 먼저 구할 수 있다. $\dfrac{a_n}{a_m}=r^{\,n-m}$ 관계를 활용하면 연립방정식 없이 빠르게 풀 수 있다.
등비수열 $\{a_n\}$에서 $a_2=6,\ a_5=48$ 일 때, 공비 $r$과 첫째항 $a_1$의 합 $r+a_1$의 값은?
수열의 합 $S_n$이 식으로 주어질 때, $n\ge2$ 이면 $a_n=S_n-S_{n-1}$ 이고, $a_1=S_1$ 이다. $n=1$일 때를 따로 확인하지 않으면 틀리는 대표적인 함정 문제이므로 주의한다.
수열 $\{a_n\}$의 첫째항부터 제$n$항까지의 합이 $S_n=n^2+2n$ 일 때, $a_5$의 값은?
$\displaystyle\sum_{k=1}^{n}k=\dfrac{n(n+1)}{2}, \quad \sum_{k=1}^{n}k^{2}=\dfrac{n(n+1)(2n+1)}{6}, \quad \sum_{k=1}^{n}k^{3}=\left\{\dfrac{n(n+1)}{2}\right\}^{2}$
$\displaystyle\sum_{k=1}^{n}c=cn$ (상수 $c$), 그리고 $\sum(a_k\pm b_k)=\sum a_k\pm\sum b_k$, $\sum c\,a_k=c\sum a_k$ 가 성립한다.
예제. $\displaystyle\sum_{k=1}^{5}k^2$ 의 값을 구하라.
풀이: $\dfrac{5\times6\times11}{6}=55$ → 답: 55
$\displaystyle\sum_{k=1}^{10}(2k-1)$ 의 값은?
$\displaystyle\sum_{k=1}^{n}k(k+1)$ 을 $n$에 대한 식으로 나타내면?
등비수열의 합 공식 $S_n=\dfrac{a_1(r^n-1)}{r-1}$ 에 값을 대입해 $r^n$에 대한 식을 만든 뒤, 지수방정식처럼 $n$을 구한다.
첫째항이 3, 공비가 2인 등비수열의 첫째항부터 제$n$항까지의 합이 189일 때, $n$의 값은?
$a_{n+1}=a_n+d$ 꼴은 등차수열, $a_{n+1}=r\,a_n$ 꼴은 등비수열의 점화식이다. 점화식이 주어지면 규칙을 파악해 일반항 공식으로 바꾸어 계산하는 것이 빠르다.
수열 $\{a_n\}$이 $a_1=2,\ a_{n+1}=a_n+3$ $(n\ge1)$ 을 만족할 때, $a_{10}$의 값은?
첫째항이 양수이고 공차가 음수인 등차수열에서 $S_n$이 최대가 되는 시점은 $a_n\ge0$ 을 만족하는 마지막 항까지 더했을 때이다. 즉 $a_n\ge0,\ a_{n+1}<0$ 을 만족하는 $n$에서 $S_n$이 최대가 된다.
첫째항이 50, 공차가 $-4$인 등차수열 $\{a_n\}$에서 첫째항부터 제$n$항까지의 합 $S_n$이 최대가 되는 $n$의 값은?
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