수학Ⅰ · 수학Ⅱ · 확통 · 미적분 · 기하 전 단원
등차수열: \(a_n = a_1 + (n-1)d\), \(\displaystyle S_n = \frac{n(a_1+a_n)}{2}\)
등비수열: \(a_n = a_1 \cdot r^{n-1}\), \(\displaystyle S_n = \frac{a_1(r^n-1)}{r-1}\ (r\neq1)\)
계차수열: \(b_n = a_{n+1}-a_n\)이면 \(\displaystyle a_n = a_1 + \sum_{k=1}^{n-1}b_k\)
\(\displaystyle\sum_{k=1}^{n}k = \frac{n(n+1)}{2}\), \(\displaystyle\sum_{k=1}^{n}k^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}\), \(\displaystyle\sum_{k=1}^{n}k^3 = \left\{\frac{n(n+1)}{2}\right\}^2\)
점화식 \(a_{n+1} = a_n + 2n\), \(a_1=3\)일 때 \(a_{10}\)을 구하여라.
\(\displaystyle\lim_{n\to\infty}a_n=\alpha,\lim_{n\to\infty}b_n=\beta\)이면
\(\lim(a_n\pm b_n)=\alpha\pm\beta\), \(\lim a_nb_n=\alpha\beta\)
등비급수: \(\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}ar^{n-1}=\frac{a}{1-r}\ (|r|<1)\)
\(\displaystyle\lim_{n\to\infty}\frac{a_n}{b_n}\)에서 분모·분자 최고차항으로 나누기.
급수가 수렴 \(\Rightarrow\) \(\lim a_n=0\) (역은 성립 안 함)
\(\displaystyle\lim_{n\to\infty}\frac{3n^2+2n}{n^2-1}\)의 값은?
\(\displaystyle\lim_{x\to a}f(x)=L\) ⟺ 좌극한 = 우극한 = \(L\)
연속 조건: ① \(f(a)\) 정의 ② 극한값 존재 ③ \(\lim_{x\to a}f(x)=f(a)\)
중간값 정리: \(f\)가 \([a,b]\)에서 연속이고 \(f(a)\cdot f(b)<0\)이면 \(f(c)=0\)인 \(c\in(a,b)\) 존재
\(\displaystyle\lim_{x\to 0}\frac{\sin x}{x}=1\), \(\displaystyle\lim_{x\to 0}\frac{\tan x}{x}=1\), \(\displaystyle\lim_{x\to 0}\frac{1-\cos x}{x^2}=\frac{1}{2}\)
\(f(x)=\begin{cases}x^2+ax&(x<1)\\bx-3&(x\geq1)\end{cases}\)가 \(x=1\)에서 연속이고 \(a+b\)의 값은?
\((fg)'=f'g+fg'\), \(\left(\dfrac{f}{g}\right)'=\dfrac{f'g-fg'}{g^2}\)
합성함수: \(\{f(g(x))\}'=f'(g(x))\cdot g'(x)\)
\((\sin x)'=\cos x\), \((\cos x)'=-\sin x\), \((\tan x)'=\sec^2 x\)
\((e^x)'=e^x\), \((\ln x)'=\dfrac{1}{x}\), \((a^x)'=a^x\ln a\)
롤의 정리: 연속·미분가능, \(f(a)=f(b)\)이면 \(f'(c)=0\)인 \(c\in(a,b)\) 존재
평균값 정리: \(f'(c)=\dfrac{f(b)-f(a)}{b-a}\)
\(f(x)=x^2\ln x\)일 때 \(f'(e)\)를 구하여라.
\(\displaystyle\int u\,dv=uv-\int v\,du\) (부분적분)
치환적분: \(t=g(x)\)로 놓으면 \(dx=\dfrac{dt}{g'(x)}\)
\(\displaystyle\int_a^b f(x)\,dx\)의 넓이 = \(\displaystyle\int_a^b|f(x)|\,dx\)
\(\displaystyle\int\sin x\,dx=-\cos x+C\),
\(\displaystyle\int\cos x\,dx=\sin x+C\)
\(\displaystyle\int e^x\,dx=e^x+C\),
\(\displaystyle\int\frac{1}{x}\,dx=\ln|x|+C\)
\(\displaystyle\int_0^1 xe^x\,dx\)를 구하여라.
\(_nP_r=\dfrac{n!}{(n-r)!}\), \(_nC_r=\dfrac{n!}{r!(n-r)!}\)
이항분포: \(B(n,p)\)이면 \(E(X)=np\), \(V(X)=np(1-p)\)
정규분포: \(N(\mu,\sigma^2)\), 표준화 \(Z=\dfrac{X-\mu}{\sigma}\)
조건부확률: \(P(A|B)=\dfrac{P(A\cap B)}{P(B)}\)
독립: \(P(A\cap B)=P(A)\cdot P(B)\)
표본평균 \(\bar{X}\sim N\!\left(\mu,\dfrac{\sigma^2}{n}\right)\)
서로 다른 6권의 책 중 3권을 선택해 일렬로 배열하는 경우의 수는?
타원: \(\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1\) → 초점 \((\pm c,0)\), \(c^2=a^2-b^2\)
포물선: \(y^2=4px\) → 초점 \((p,0)\), 준선 \(x=-p\)
내적: \(\vec{a}\cdot\vec{b}=|\vec{a}||\vec{b}|\cos\theta\)
쌍곡선: \(\dfrac{x^2}{a^2}-\dfrac{y^2}{b^2}=1\) → \(c^2=a^2+b^2\)
타원의 정의: 두 초점까지의 거리의 합 = \(2a\) (일정)
타원 \(\dfrac{x^2}{25}+\dfrac{y^2}{16}=1\)의 두 초점 사이의 거리는?
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