핵심 단원 완전정복
수학 실전 모의고사 20제

양수 \(a\)의 제곱근은 \(\pm\sqrt{a}\)이고, 0의 제곱근은 0뿐이다. 음수의 제곱근은 실수 범위에서 존재하지 않는다. 제곱근의 성질로 \(\sqrt{a^2}=|a|\)가 성립하므로, 근호 안에 문자가 있을 때는 반드시 그 문자의 부호를 먼저 판단해야 한다. 실수는 유리수와 무리수로 나뉘며, 순환소수는 유리수, 순환하지 않는 무한소수(\(\pi\), \(\sqrt{2}\) 등)는 무리수이다.

근호를 포함한 곱셈·나눗셈은 \(\sqrt{a}\sqrt{b}=\sqrt{ab}\), \(\dfrac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}=\sqrt{\dfrac{a}{b}}\) (단, \(a,b>0\))로 계산한다. 덧셈·뺄셈은 근호 안의 수가 같을 때만 동류항처럼 계수를 더하거나 뺄 수 있으므로, 먼저 \(\sqrt{a^2b}=a\sqrt{b}\) 꼴로 근호 안을 가장 간단한 수로 만든 뒤 계산해야 한다. 분모에 근호가 있으면 분모, 분자에 같은 수를 곱해 분모를 유리화한다.

곱셈공식은 식을 전개하는 시간을 줄여주는 핵심 도구이다. \((a+b)^2=a^2+2ab+b^2\), \((a-b)^2=a^2-2ab+b^2\), \((a+b)(a-b)=a^2-b^2\), \((x+a)(x+b)=x^2+(a+b)x+ab\)는 반드시 암기해야 한다. 또한 \(x+y\)와 \(xy\)의 값이 주어지면 \(x^2+y^2=(x+y)^2-2xy\) 와 같이 곱셈공식을 변형하여 식의 값을 구하는 문제가 자주 출제된다.

인수분해는 곱셈공식을 거꾸로 적용하는 과정이다. \(a^2+2ab+b^2=(a+b)^2\), \(a^2-2ab+b^2=(a-b)^2\), \(a^2-b^2=(a+b)(a-b)\), \(x^2+(a+b)x+ab=(x+a)(x+b)\)의 네 가지 기본 공식을 양방향(전개↔인수분해)으로 모두 사용할 수 있어야 한다. \(acx^2+(ad+bc)x+bd=(ax+b)(cx+d)\) 꼴의 인수분해는 곱이 ac, bd가 되고 합이 가운데 항이 되는 네 수를 찾는 것이 핵심이다.

이차방정식 \(ax^2+bx+c=0\) (단, \(a\neq0\))은 좌변을 인수분해하여 \((px+q)(rx+s)=0\) 꼴로 만들면, '\(AB=0\)이면 \(A=0\) 또는 \(B=0\)'을 이용해 근을 구할 수 있다. 인수분해가 되지 않을 때는 근의 공식 \(x=\dfrac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}\)을 사용한다. 두 근의 합과 곱은 인수분해된 식 \((x-\alpha)(x-\beta)=0\)에서 \(\alpha+\beta\), \(\alpha\beta\)로 바로 구할 수 있다.