3rd Grade · 1st Semester · Final Exam Prep

중3-1 기말 수학 핵심 20제

제곱근과 실수 · 인수분해 · 이차방정식 · 이차함수 — 전 단원 고난도 실전 모의고사

총 문항 20문제

유형 객관식 5지선다

난이도 중상~상

권장 시간 40분

핵심 개념

제곱근의 곱셈과 나눗셈, 분모의 유리화, 제곱근의 덧셈·뺄셈(근호 안의 수가 같을 때만 가능)을 이용해 식을 간단히 한다.

√a × √b = √(ab) (a>0, b>0)
√a ÷ √b = √(a/b) (a>0, b>0)
분모의 유리화: b/√a = b√a / a

두 실수의 대소 비교는 근호 안의 수의 대소 또는 (양수)² 비교로 판단한다.

💡 무조건 외우기

근호 밖으로 빼기: √(a²b) = a√b (단, a>0)
분모 유리화: 분모·분자에 같은 근호를 곱해 분모를 정수로 만든다.
합·차 정리: a√m + b√m = (a+b)√m — 근호 안이 같아야 더할 수 있다!
대소비교 함정: √a + √b ≠ √(a+b) — 가장 많이 틀리는 실수!

Example · 예제로 확인

√50 - √8 + √2 를 간단히 하시오.

풀이: 5√2 - 2√2 + √2 = (5-2+1)√2 = 4√2

정답: 4√2

핵심 개념

곱셈공식을 이용해 식을 전개하고, 반대로 인수분해 공식을 이용해 다항식을 곱의 형태로 나타낸다.

(a+b)² = a² + 2ab + b² (a-b)² = a² - 2ab + b²
(a+b)(a-b) = a² - b²
x² + (a+b)x + ab = (x+a)(x+b)
acx² + (ad+bc)x + bd = (ax+b)(cx+d)

곱셈공식 변형: x² + y² = (x+y)² - 2xy = (x-y)² + 2xy

💡 무조건 외우기

치환의 기술: 반복되는 식 (x+1) 같은 부분은 통째로 한 문자로 치환하면 인수분해가 쉬워진다.
곱셈공식 변형: x²+y², (x+y)²-(x-y)² 등은 반드시 양변 제곱·전개로 외워둔다.
인수분해 순서: ① 공통인수 ② 공식 적용(완전제곱·차의 곱) ③ x²+(a+b)x+ab 꼴 ④ 복이차식 치환
교차법(akx²+bx+c): ac, bd의 곱이 a×c가 되도록 두 쌍을 찾아 ad+bc=b가 되는 조합을 찾는다.

Example · 예제로 확인

x+y=5, xy=3일 때 x²+y²의 값을 구하시오.

풀이: x²+y² = (x+y)² - 2xy = 5² - 2×3 = 25 - 6 = 19

정답: 19

핵심 개념

이차방정식 ax²+bx+c=0 (a≠0)은 인수분해, 완전제곱식, 근의 공식으로 풀 수 있다.

근의 공식: x = (-b ± √(b²-4ac)) / 2a
판별식: D = b² - 4ac
D>0 → 서로 다른 두 실근, D=0 → 중근(한 실근), D<0 → 실근 없음

완전제곱식: x² + kx + (k/2)² = (x + k/2)² 형태를 만들면 항상 (k/2)² = (상수항)이 성립한다.

💡 무조건 외우기

근의 공식 부호: b²-4ac에서 b는 일차항의 계수 그대로 대입(부호 포함)한다. -b의 부호도 잊지 말기!
중근의 조건: 판별식 D=0 ⇔ 완전제곱식 ⇔ (k/2)² = 상수항
활용 문제 풀이순서: ① 미지수 설정 ② 조건을 식으로 ③ 이차방정식 세우기 ④ 풀고 조건(자연수, 양수 등) 확인하여 답 선택
연속하는 자연수: n, n+1, n+2 / 연속하는 짝수: n, n+2, n+4

Example · 예제로 확인

이차방정식 x²-5x+6=0의 해를 구하시오.

풀이: (x-2)(x-3)=0 → x=2 또는 x=3

정답: x=2 또는 x=3

핵심 개념

이차함수 y=a(x-p)²+q의 그래프는 y=ax²의 그래프를 x축으로 p만큼, y축으로 q만큼 평행이동한 것이며, 꼭짓점은 (p, q)이다.

y = a(x-p)² + q → 꼭짓점 (p, q), 축의 방정식 x = p
a>0: 아래로 볼록(최솟값 q 존재) a<0: 위로 볼록(최댓값 q 존재)
x절편: y=0을 대입해 얻은 x의 값

|a|가 클수록 그래프의 폭이 좁아지고, |a|가 작을수록 폭이 넓어진다.

💡 무조건 외우기

평행이동 방향 함정: y=a(x-p)²+q에서 x축 방향 이동은 +p가 아니라 p만큼! (x-p)이므로 부호에 주의.
최대·최소: a>0이면 꼭짓점에서 최솟값, a<0이면 꼭짓점에서 최댓값을 가진다.
그래프 그리기 순서: ① 꼭짓점 ② 축의 방정식 ③ y절편(x=0대입) ④ x절편(인수분해/근의공식)
조건으로 식 세우기: 꼭짓점이 주어지면 y=a(x-p)²+q로 시작 → 지나는 한 점을 대입해 a를 구한다.

Example · 예제로 확인

이차함수 y=2(x-1)²+3의 꼭짓점의 좌표를 구하시오.

풀이: y=a(x-p)²+q 꼴이므로 꼭짓점은 (p,q) = (1,3)

정답: (1, 3)

중3-1 기말 수학 핵심 20제

제곱근과 실수 · 근호를 포함한 식의 계산

다항식의 곱셈과 인수분해

이차방정식의 풀이와 활용

이차함수와 그래프