수능 수학 킬러문항 20선

1

함수의 극한 — 수학Ⅱ

\(\displaystyle\lim_{x\to a}f(x)=L\) ⟺ 좌극한 \(=\) 우극한 \(=L\)

⭐ 킬러포인트: \(\lim_{x\to 0}\dfrac{\sin x}{x}=1\), \(\lim_{x\to\infty}\!\left(1+\tfrac{1}{x}\right)^x=e\)

예 제

\(\displaystyle\lim_{x\to 0}\dfrac{\sin 3x}{x}\) 를 구하시오.

풀이: \(\lim_{x\to 0}\dfrac{\sin 3x}{x}=3\cdot\lim_{x\to 0}\dfrac{\sin 3x}{3x}=3\times1=\boxed{3}\)

2

미분 — 미적분

합성함수: \(\{f(g(x))\}'=f'(g(x))\cdot g'(x)\)
\((\sin x)'=\cos x,\;(\cos x)'=-\sin x,\;(\ln x)'=\tfrac{1}{x},\;(e^x)'=e^x\)

⭐ 킬러포인트: 역함수 미분 — \(f'(a)=\tfrac{1}{(f^{-1})'(f(a))}\)

예 제

\(f(x)=e^{\sin x}\)의 도함수를 구하시오.

풀이: \(f'(x)=e^{\sin x}\cdot\cos x\)

3

적분 — 미적분

치환: \(\int f(g(x))g'(x)\,dx = F(g(x))+C\)
부분: \(\int u\,dv = uv - \int v\,du\)
정적분의 기본정리: \(\int_a^b f(x)\,dx = F(b)-F(a)\)

⭐ 킬러포인트: 주기함수 정적분, 우함수/기함수 이용

예 제

\(\displaystyle\int_0^{\pi}\sin^2 x\,dx\)를 구하시오.

풀이: \(\sin^2x=\tfrac{1-\cos 2x}{2}\)이므로 \(\dfrac{\pi}{2}\)

4

수열의 극한 — 수학Ⅱ

등비수열 합: \(S_n=\dfrac{a(r^n-1)}{r-1}\;(r\ne1)\)
급수 수렴: \(|r|<1\)이면 \(\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}ar^{n-1}=\dfrac{a}{1-r}\)

⭐ 킬러포인트: \(\displaystyle\lim_{n\to\infty}\dfrac{a_n}{b_n}\) 비교판정, \(\sqrt{n+1}-\sqrt{n}\) 유형 유리화

예 제

\(\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\dfrac{1}{n(n+1)}\)을 구하시오.

풀이: 부분분수 분해 \(\Rightarrow \displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\!\left(\dfrac{1}{n}-\dfrac{1}{n+1}\right)=1\)

5

확률 — 확률·통계

조건부확률: \(P(B|A)=\dfrac{P(A\cap B)}{P(A)}\)
베이즈: \(P(A|B)=\dfrac{P(B|A)P(A)}{P(B)}\)

⭐ 킬러포인트: 독립 \(\Leftrightarrow P(A\cap B)=P(A)P(B)\), 서로소 \(\Leftrightarrow P(A\cap B)=0\)

예 제

\(P(A)=0.4,\;P(B|A)=0.5\)일 때 \(P(A\cap B)\)를 구하시오.

풀이: \(P(A\cap B)=P(A)\cdot P(B|A)=0.4\times0.5=0.2\)

6

정규분포 — 확률·통계

\(X\sim N(\mu,\sigma^2)\) 이면 \(Z=\dfrac{X-\mu}{\sigma}\sim N(0,1)\)
표본평균: \(\bar{X}\sim N\!\left(\mu,\dfrac{\sigma^2}{n}\right)\)

⭐ 킬러포인트: 신뢰구간 \(\bar{x}\pm z_{\alpha/2}\cdot\dfrac{\sigma}{\sqrt{n}}\), 95%: \(z=1.96\), 99%: \(z=2.58\)

7

이항분포 — 확률·통계

\(X\sim B(n,p)\)이면 \(E(X)=np,\;V(X)=npq\;(q=1-p)\)

⭐ 킬러포인트: \(n\)이 크면 \(X\approx N(np,npq)\) 근사

8

평면벡터 — 기하

내적: \(\vec{a}\cdot\vec{b}=|\vec{a}||\vec{b}|\cos\theta\)
\(\vec{a}=(a_1,a_2),\;\vec{b}=(b_1,b_2)\) 이면 \(\vec{a}\cdot\vec{b}=a_1b_1+a_2b_2\)

⭐ 킬러포인트: 수직 \(\Leftrightarrow \vec{a}\cdot\vec{b}=0\), 평행 \(\Leftrightarrow \vec{a}\times\vec{b}=\vec{0}\)

9

이차곡선 — 기하

타원: \(\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1\), 초점 \((\pm c,0)\), \(c^2=a^2-b^2\)
쌍곡선: \(\dfrac{x^2}{a^2}-\dfrac{y^2}{b^2}=1\), 점근선 \(y=\pm\dfrac{b}{a}x\)

⭐ 킬러포인트: 타원 \(PF_1+PF_2=2a\), 쌍곡선 \(|PF_1-PF_2|=2a\)

10

공간벡터 — 기하

공간벡터 \(\vec{a}=(a_1,a_2,a_3)\)의 크기: \(|\vec{a}|=\sqrt{a_1^2+a_2^2+a_3^2}\)
직선의 방향벡터, 평면의 법선벡터 관계: \(\vec{n}\perp\) 평면 위의 모든 벡터

⭐ 킬러포인트: 점과 평면의 거리 \(d=\dfrac{|ax_0+by_0+cz_0+d|}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}\)

핵심 개념 & 필수 공식

실전 킬러문항 20선

정답표 & 상세 해설