개념 정리 & 핵심 암기
단원 01
지수함수와 로그함수
핵심 공식
\( a^m \cdot a^n = a^{m+n}, \quad \frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}, \quad (a^m)^n = a^{mn} \)\( \log_a MN = \log_a M + \log_a N, \quad \log_a \frac{M}{N} = \log_a M - \log_a N \)
\( \log_a M^k = k\log_a M, \quad \log_a b = \frac{\log b}{\log a} = \frac{\ln b}{\ln a} \)
반드시 암기
지수함수 \(y=a^x\) : \(a>1\)이면 증가, \(0<a<1\)이면 감소로그함수 \(y=\log_a x\) : 지수함수의 역함수, 그래프는 \(y=x\)에 대해 대칭
자연로그 \(\ln e = 1\), \(\ln 1 = 0\), \(e \approx 2.718\)
예제
\(\log_2 48 - \log_2 3\) 의 값을 구하시오.
풀이: \(\log_2 \frac{48}{3} = \log_2 16 = \log_2 2^4 = 4\)
단원 02
삼각함수와 삼각방정식
핵심 공식
\(\sin^2\theta + \cos^2\theta = 1, \quad \tan\theta = \frac{\sin\theta}{\cos\theta}\)덧셈공식: \(\sin(A\pm B) = \sin A\cos B \pm \cos A\sin B\)
\(\cos(A\pm B) = \cos A\cos B \mp \sin A\sin B\)
배각공식: \(\sin 2A = 2\sin A\cos A, \quad \cos 2A = \cos^2 A - \sin^2 A = 1-2\sin^2 A = 2\cos^2 A -1\)
반드시 암기
\(\sin 30°=\tfrac{1}{2}, \sin 45°=\tfrac{\sqrt2}{2}, \sin 60°=\tfrac{\sqrt3}{2}\)\(\cos 30°=\tfrac{\sqrt3}{2}, \cos 45°=\tfrac{\sqrt2}{2}, \cos 60°=\tfrac{1}{2}\)
사인법칙: \(\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}=2R\)
코사인법칙: \(a^2 = b^2+c^2-2bc\cos A\)
예제
\(0 \le \theta < 2\pi\)일 때 \(\sin\theta = \cos\theta\)의 해를 구하시오.
풀이: \(\tan\theta=1\)이므로 \(\theta=\frac{\pi}{4},\, \frac{5\pi}{4}\)
단원 03
수열 (등차·등비·점화식)
핵심 공식
등차수열 일반항: \(a_n = a_1 + (n-1)d\)등차수열 합: \(S_n = \frac{n}{2}(a_1+a_n) = \frac{n}{2}\{2a_1+(n-1)d\}\)
등비수열 일반항: \(a_n = a_1 \cdot r^{n-1}\)
등비수열 합: \(S_n = \frac{a_1(r^n-1)}{r-1}\) \((r\ne 1)\), \(S_n = na_1\) \((r=1)\)
반드시 암기
\(\sum_{k=1}^{n}k = \frac{n(n+1)}{2}, \quad \sum_{k=1}^{n}k^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}, \quad \sum_{k=1}^{n}k^3 = \left\{\frac{n(n+1)}{2}\right\}^2\)점화식 \(a_{n+1}-a_n=d\) → 등차, \(\frac{a_{n+1}}{a_n}=r\) → 등비
예제
\(a_1=2, a_{n+1}=3a_n-4\)일 때 \(a_n\)을 구하시오.
풀이: \(b_n=a_n-2\)로 놓으면 \(b_{n+1}=3b_n\), 등비수열. \(b_1=0\)이므로 \(b_n=0\). 따라서 \(a_n=2\)
단원 04
미분법
핵심 공식
\((x^n)' = nx^{n-1}, \quad (e^x)' = e^x, \quad (\ln x)' = \frac{1}{x}\)\((\sin x)' = \cos x, \quad (\cos x)' = -\sin x, \quad (\tan x)' = \sec^2 x\)
곱의 미분: \((fg)' = f'g + fg'\)
몫의 미분: \(\left(\frac{f}{g}\right)' = \frac{f'g-fg'}{g^2}\)
합성함수 미분: \(\frac{d}{dx}f(g(x)) = f'(g(x))\cdot g'(x)\)
반드시 암기
\(f'(a)=0\)이고 \(f''(a)>0\) → 극소, \(f''(a)<0\) → 극대평균값 정리: 연속·미분가능 함수에서 \(f'(c)=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}\)인 \(c\)가 존재
예제
\(f(x)=x^3-3x^2+2\)의 극값을 구하시오.
풀이: \(f'(x)=3x^2-6x=3x(x-2)=0\) → \(x=0\)(극대값 2), \(x=2\)(극소값 -2)
단원 05
적분법
핵심 공식
\(\int x^n\,dx = \frac{x^{n+1}}{n+1}+C, \quad \int e^x\,dx=e^x+C, \quad \int \frac{1}{x}\,dx=\ln|x|+C\)\(\int \sin x\,dx=-\cos x+C, \quad \int \cos x\,dx=\sin x+C\)
부분적분: \(\int f'g\,dx = fg - \int fg'\,dx\)
치환적분: \(\int f(g(x))g'(x)\,dx = \int f(t)\,dt\) (단, \(t=g(x)\))
반드시 암기
넓이: \(S=\int_a^b |f(x)|\,dx\)속도·위치: \(v(t)=x'(t)\), \(x(t)=x(0)+\int_0^t v(s)\,ds\)
정적분의 성질: \(\int_a^b f = -\int_b^a f\)
예제
\(\int_0^1 (3x^2+2x)\,dx\)를 구하시오.
풀이: \(\left[x^3+x^2\right]_0^1 = (1+1)-(0) = 2\)
단원 06
확률과 통계
핵심 공식
\(P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)\)\(P(A|B)=\frac{P(A\cap B)}{P(B)}\)
\(_nP_r = \frac{n!}{(n-r)!}, \quad _nC_r = \frac{n!}{r!(n-r)!}\)
이항분포: \(X\sim B(n,p)\) → \(E(X)=np, V(X)=np(1-p)\)
정규분포: \(Z=\frac{X-m}{\sigma}\) 표준화
반드시 암기
독립사건: \(P(A\cap B)=P(A)\cdot P(B)\)큰 수의 법칙: 표본 크기가 클수록 표본평균이 모평균에 수렴
신뢰구간 (95%): \(\bar{x}\pm 1.96\cdot\frac{\sigma}{\sqrt{n}}\)
예제
서로 다른 5개에서 3개를 선택하는 조합의 수를 구하시오.
풀이: \(_5C_3 = \frac{5!}{3!\cdot 2!} = \frac{5\times4}{2} = 10\)
킬러 문항 20선
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미답
양수 \(x\)에 대하여 \(\log_2 x + \log_4 x = 6\)일 때, \(x\)의 값은?
\(3^{x}=5\)일 때, \(9^{x+1}\)의 값은?
\(0 \le \theta < 2\pi\)에서 \(2\sin^2\theta - 3\sin\theta + 1 = 0\)의 모든 해의 합은?
삼각형 ABC에서 \(a=7, b=8, C=60°\)일 때, 변 \(c\)의 길이는?
수열 \(\{a_n\}\)이 \(a_1=1\), \(a_{n+1}=\dfrac{a_n}{2a_n+1}\)을 만족할 때, \(\dfrac{1}{a_{10}}\)의 값은?
\(\displaystyle\sum_{k=1}^{n}(2k-1) = n^2\)임을 이용할 때, \(\displaystyle\sum_{k=1}^{10}(2k-1)\)의 값은?
함수 \(f(x)=x^3-6x^2+9x+2\)에서 극대값과 극소값의 합은?
\(f(x)=e^{2x}\sin x\)일 때, \(f'(0)\)의 값은?
\(\displaystyle\int_0^{\pi} x\cos x\,dx\)의 값은?
곡선 \(y=x^2-4x+3\)과 \(x\)축으로 둘러싸인 도형의 넓이는?
서로 다른 10권의 책 중에서 4권을 선택하는 경우의 수는?
확률변수 \(X\)가 이항분포 \(B\!\left(100, \dfrac{1}{5}\right)\)를 따를 때, \(\mathrm{Var}(X)\)의 값은?
함수 \(f(x)=\ln(x^2+1)\)에 대하여 \(f'(1)\)의 값은?
\(\displaystyle\int_0^1 \frac{2x}{x^2+1}\,dx\)의 값은?
등비수열 \(\{a_n\}\)에서 \(a_1=3\), 공비 \(r=2\)일 때, \(\displaystyle\sum_{k=1}^{5} a_k\)의 값은?
두 사건 A, B가 독립이고 \(P(A)=\dfrac{1}{3}\), \(P(B)=\dfrac{1}{4}\)일 때, \(P(A\cup B)\)의 값은?
매개변수 \(t\)로 정의된 곡선 \(x=t^2+t,\; y=t^3-t\)에서 \(t=1\)일 때, \(\dfrac{dy}{dx}\)의 값은?
속도 \(v(t)=3t^2-6t+2\)로 움직이는 점이 \(t=0\)에서 \(t=3\)까지 이동한 거리는?
\(\log_{0.2} 5\)의 값은?
\(\sin\theta + \cos\theta = \dfrac{1}{\sqrt{2}}\)일 때, \(\sin\theta\cos\theta\)의 값은?
정답 & 해설
01번
정답 ③
3 \(2^4 = 16\)
\(\log_4 x = \dfrac{\log_2 x}{2}\)이므로 \(\log_2 x + \dfrac{\log_2 x}{2} = 6\).
\(\dfrac{3}{2}\log_2 x = 6\) → \(\log_2 x = 4\) → \(x = 2^4 = 16\)
\(\dfrac{3}{2}\log_2 x = 6\) → \(\log_2 x = 4\) → \(x = 2^4 = 16\)
02번
정답 ③
3 \(225\)
\(3^x=5\)이면 \(9^{x+1}=(3^2)^{x+1}=3^{2x+2}=3^{2x}\cdot 9 = (3^x)^2\cdot 9 = 25\cdot 9 = 225\)
03번
정답 ④
4 \(\dfrac{3\pi}{2}\)
\((2\sin\theta-1)(\sin\theta-1)=0\)
\(\sin\theta=\dfrac{1}{2}\): \(\theta=\dfrac{\pi}{6},\,\dfrac{5\pi}{6}\)
\(\sin\theta=1\): \(\theta=\dfrac{\pi}{2}\)
세 해의 합 \(=\dfrac{\pi}{6}+\dfrac{5\pi}{6}+\dfrac{\pi}{2}=\pi+\dfrac{\pi}{2}=\dfrac{3\pi}{2}\)
\(\sin\theta=\dfrac{1}{2}\): \(\theta=\dfrac{\pi}{6},\,\dfrac{5\pi}{6}\)
\(\sin\theta=1\): \(\theta=\dfrac{\pi}{2}\)
세 해의 합 \(=\dfrac{\pi}{6}+\dfrac{5\pi}{6}+\dfrac{\pi}{2}=\pi+\dfrac{\pi}{2}=\dfrac{3\pi}{2}\)
04번
정답 ③
3 \(\sqrt{57}\)
코사인법칙: \(c^2=a^2+b^2-2ab\cos C\)
\(=49+64-2\cdot7\cdot8\cdot\cos60°\)
\(=113-112\cdot\dfrac{1}{2}=113-56=57\)
따라서 \(c=\sqrt{57}\)
\(=49+64-2\cdot7\cdot8\cdot\cos60°\)
\(=113-112\cdot\dfrac{1}{2}=113-56=57\)
따라서 \(c=\sqrt{57}\)
05번
정답 ②
2 \(19\)
\(b_n=\dfrac{1}{a_n}\)으로 놓으면 \(b_{n+1}=\dfrac{1}{a_{n+1}}=\dfrac{2a_n+1}{a_n}=2+b_n\)
따라서 \(\{b_n\}\)은 공차 2인 등차수열, \(b_1=1\)
\(b_n=1+2(n-1)=2n-1\)
\(b_{10}=\dfrac{1}{a_{10}}=19\)
따라서 \(\{b_n\}\)은 공차 2인 등차수열, \(b_1=1\)
\(b_n=1+2(n-1)=2n-1\)
\(b_{10}=\dfrac{1}{a_{10}}=19\)
06번
정답 ④
4 \(100\)
주어진 공식 \(\sum_{k=1}^n(2k-1)=n^2\)에 \(n=10\)을 대입.
\(\sum_{k=1}^{10}(2k-1)=10^2=100\)
\(\sum_{k=1}^{10}(2k-1)=10^2=100\)
07번
정답 ③
3 \(8\)
\(f'(x)=3x^2-12x+9=3(x-1)(x-3)=0\)
\(x=1\)에서 극대: \(f(1)=1-6+9+2=6\)
\(x=3\)에서 극소: \(f(3)=27-54+27+2=2\)
극대값+극소값 \(=6+2=8\)
\(x=1\)에서 극대: \(f(1)=1-6+9+2=6\)
\(x=3\)에서 극소: \(f(3)=27-54+27+2=2\)
극대값+극소값 \(=6+2=8\)
08번
정답 ③
3 \(1\)
곱의 미분법: \(f'(x)=2e^{2x}\sin x+e^{2x}\cos x\)
\(f'(0)=2e^0\cdot0+e^0\cdot1=0+1=1\)
\(f'(0)=2e^0\cdot0+e^0\cdot1=0+1=1\)
09번
정답 ①
1 \(-2\)
부분적분: \(u=x, v'=\cos x\)로 놓으면
\(\int_0^\pi x\cos x\,dx=\bigl[x\sin x\bigr]_0^\pi-\int_0^\pi\sin x\,dx\)
\(=0-\bigl[-\cos x\bigr]_0^\pi=0-(-\cos\pi+\cos0)=0-(1+1)=-2\)
\(\int_0^\pi x\cos x\,dx=\bigl[x\sin x\bigr]_0^\pi-\int_0^\pi\sin x\,dx\)
\(=0-\bigl[-\cos x\bigr]_0^\pi=0-(-\cos\pi+\cos0)=0-(1+1)=-2\)
10번
정답 ③
3 \(\dfrac{4}{3}\)
\(y=x^2-4x+3=(x-1)(x-3)\), 근: \(x=1,3\)
\(S=\int_1^3|x^2-4x+3|\,dx=-\int_1^3(x^2-4x+3)\,dx\)
\(=-\bigl[\dfrac{x^3}{3}-2x^2+3x\bigr]_1^3=-(9-18+9)+(\dfrac{1}{3}-2+3)=0+\dfrac{4}{3}=\dfrac{4}{3}\)
\(S=\int_1^3|x^2-4x+3|\,dx=-\int_1^3(x^2-4x+3)\,dx\)
\(=-\bigl[\dfrac{x^3}{3}-2x^2+3x\bigr]_1^3=-(9-18+9)+(\dfrac{1}{3}-2+3)=0+\dfrac{4}{3}=\dfrac{4}{3}\)
11번
정답 ②
2 \(210\)
\(_{10}C_4=\dfrac{10!}{4!\cdot6!}=\dfrac{10\times9\times8\times7}{4\times3\times2\times1}=\dfrac{5040}{24}=210\)
12번
정답 ④
4 \(16\)
\(X\sim B(100,\tfrac{1}{5})\)
\(V(X)=np(1-p)=100\cdot\dfrac{1}{5}\cdot\dfrac{4}{5}=100\cdot\dfrac{4}{25}=16\)
\(V(X)=np(1-p)=100\cdot\dfrac{1}{5}\cdot\dfrac{4}{5}=100\cdot\dfrac{4}{25}=16\)
13번
정답 ③
3 \(1\)
합성함수 미분: \(f'(x)=\dfrac{2x}{x^2+1}\)
\(f'(1)=\dfrac{2\cdot1}{1+1}=\dfrac{2}{2}=1\)
\(f'(1)=\dfrac{2\cdot1}{1+1}=\dfrac{2}{2}=1\)
14번
정답 ①
1 \(\ln 2\)
\(t=x^2+1\)로 치환하면 \(dt=2x\,dx\)
\(\int_0^1\dfrac{2x}{x^2+1}\,dx=\int_1^2\dfrac{dt}{t}=\bigl[\ln t\bigr]_1^2=\ln2-\ln1=\ln2\)
\(\int_0^1\dfrac{2x}{x^2+1}\,dx=\int_1^2\dfrac{dt}{t}=\bigl[\ln t\bigr]_1^2=\ln2-\ln1=\ln2\)
15번
정답 ③
3 \(93\)
\(S_5=\dfrac{a_1(r^5-1)}{r-1}=\dfrac{3(2^5-1)}{2-1}=3\times31=93\)
16번
정답 ④
4 \(\dfrac{1}{2}\)
독립이므로 \(P(A\cap B)=P(A)\cdot P(B)=\dfrac{1}{3}\cdot\dfrac{1}{4}=\dfrac{1}{12}\)
\(P(A\cup B)=\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{4}-\dfrac{1}{12}=\dfrac{4+3-1}{12}=\dfrac{6}{12}=\dfrac{1}{2}\)
\(P(A\cup B)=\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{4}-\dfrac{1}{12}=\dfrac{4+3-1}{12}=\dfrac{6}{12}=\dfrac{1}{2}\)
17번
정답 ②
2 \(\dfrac{2}{3}\)
\(\dfrac{dx}{dt}=2t+1\), \(\dfrac{dy}{dt}=3t^2-1\)
\(t=1\)일 때: \(\dfrac{dx}{dt}=3\), \(\dfrac{dy}{dt}=2\)
\(\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{dy/dt}{dx/dt}=\dfrac{2}{3}\)
\(t=1\)일 때: \(\dfrac{dx}{dt}=3\), \(\dfrac{dy}{dt}=2\)
\(\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{dy/dt}{dx/dt}=\dfrac{2}{3}\)
18번
정답 ③
3 \(6\)
\(v(t)=3t^2-6t+2=0\) → \(t=1\pm\dfrac{1}{\sqrt3}\).
거리 \(=\int_0^3|v(t)|\,dt\). 계산하면 위치함수 \(s(t)=t^3-3t^2+2t\)에서
\(s(0)=0, s(3)=27-27+6=6\)이고, \(v\)의 부호 변화를 고려하면 총 이동거리 \(=6\)
거리 \(=\int_0^3|v(t)|\,dt\). 계산하면 위치함수 \(s(t)=t^3-3t^2+2t\)에서
\(s(0)=0, s(3)=27-27+6=6\)이고, \(v\)의 부호 변화를 고려하면 총 이동거리 \(=6\)
19번
정답 ②
2 \(-1\)
\(0.2=\dfrac{1}{5}=5^{-1}\)이므로 밑이 \(5^{-1}\).
\(\log_{5^{-1}}5=\dfrac{\log 5}{\log 5^{-1}}=\dfrac{\log 5}{-\log 5}=-1\)
\(\log_{5^{-1}}5=\dfrac{\log 5}{\log 5^{-1}}=\dfrac{\log 5}{-\log 5}=-1\)
20번
정답 ②
2 \(-\dfrac{1}{4}\)
양변을 제곱: \((\sin\theta+\cos\theta)^2=\dfrac{1}{2}\)
\(\sin^2\theta+2\sin\theta\cos\theta+\cos^2\theta=\dfrac{1}{2}\)
\(1+2\sin\theta\cos\theta=\dfrac{1}{2}\)
\(\sin\theta\cos\theta=\dfrac{\tfrac{1}{2}-1}{2}=\dfrac{-\tfrac{1}{2}}{2}=-\dfrac{1}{4}\)
\(\sin^2\theta+2\sin\theta\cos\theta+\cos^2\theta=\dfrac{1}{2}\)
\(1+2\sin\theta\cos\theta=\dfrac{1}{2}\)
\(\sin\theta\cos\theta=\dfrac{\tfrac{1}{2}-1}{2}=\dfrac{-\tfrac{1}{2}}{2}=-\dfrac{1}{4}\)