UNIT 01 · 지수·로그
핵심 공식 및 암기사항
지수법칙과 로그 성질은 수능 수학의 기본 도구입니다.
\(a^m \cdot a^n = a^{m+n}\), \(\quad (a^m)^n = a^{mn}\), \(\quad a^{-n} = \dfrac{1}{a^n}\)
\(\log_a MN = \log_a M + \log_a N\), \(\quad \log_a \dfrac{M}{N} = \log_a M - \log_a N\)
\(\log_a M^k = k\log_a M\), \(\quad \log_a b = \dfrac{\log b}{\log a}\)
⚡ 반드시 암기
지수함수 \(y=a^x\): \(a>1\)이면 증가, \(0
로그함수 \(y=\log_a x\): \(a>1\)이면 증가, \(0
로그의 정의: \(\log_a b = k \iff a^k = b\) (\(a>0, a\neq1, b>0\))
📝 예제 · EXAMPLE
\(\log_2 3 = a\)일 때, \(\log_4 6\)을 \(a\)로 나타내면?
풀이: \(\log_4 6 = \dfrac{\log_2 6}{\log_2 4} = \dfrac{\log_2 2 + \log_2 3}{2} = \dfrac{1+a}{2}\) → 정답: \(\dfrac{a+1}{2}\)
UNIT 02 · 삼각함수
핵심 공식 및 암기사항
\(\sin^2\theta + \cos^2\theta = 1\), \(\quad \tan\theta = \dfrac{\sin\theta}{\cos\theta}\)
덧셈정리: \(\sin(\alpha\pm\beta) = \sin\alpha\cos\beta \pm \cos\alpha\sin\beta\)
\(\cos(\alpha\pm\beta) = \cos\alpha\cos\beta \mp \sin\alpha\sin\beta\)
사인법칙: \(\dfrac{a}{\sin A} = \dfrac{b}{\sin B} = \dfrac{c}{\sin C} = 2R\)
코사인법칙: \(a^2 = b^2 + c^2 - 2bc\cos A\)
⚡ 반드시 암기
이배각 공식: \(\sin 2\theta = 2\sin\theta\cos\theta\), \(\;\cos 2\theta = \cos^2\theta - \sin^2\theta = 1-2\sin^2\theta = 2\cos^2\theta-1\)
삼각형 넓이: \(S = \dfrac{1}{2}ab\sin C\)
📝 예제 · EXAMPLE
\(\sin\theta + \cos\theta = \dfrac{\sqrt{3}+1}{2}\)일 때, \(\sin 2\theta\)의 값은?
풀이: 양변 제곱 → \(1 + 2\sin\theta\cos\theta = \dfrac{(\sqrt{3}+1)^2}{4} = \dfrac{4+2\sqrt{3}}{4}\) → \(\sin 2\theta = \dfrac{4+2\sqrt{3}}{4}-1 = \dfrac{\sqrt{3}}{2}\) → 정답: \(\dfrac{\sqrt{3}}{2}\)
UNIT 03 · 수열
핵심 공식 및 암기사항
등차수열: \(a_n = a_1 + (n-1)d\), \(\quad S_n = \dfrac{n(a_1+a_n)}{2} = \dfrac{n\{2a_1+(n-1)d\}}{2}\)
등비수열: \(a_n = a_1 r^{n-1}\), \(\quad S_n = \dfrac{a_1(1-r^n)}{1-r}\) (\(r \neq 1\))
\(\displaystyle\sum_{k=1}^{n}k = \dfrac{n(n+1)}{2}\), \(\quad \sum_{k=1}^{n}k^2 = \dfrac{n(n+1)(2n+1)}{6}\)
⚡ 반드시 암기
점화식 풀이법: \(a_{n+1} - a_n = f(n)\)형 → 합산법
\(a_{n+1} = pa_n + q\)형 → \(\alpha\) 고정점 이용 (등비로 변환)
귀납법: ① \(n=1\) 성립 확인 ② \(n=k\) 성립 가정 → \(n=k+1\) 증명
📝 예제 · EXAMPLE
\(a_1=1\), \(a_{n+1} = 2a_n + 3\)으로 정의된 수열의 \(a_n\)을 구하면?
풀이: \(b_n = a_n + 3\)으로 치환하면 \(b_{n+1} = 2b_n\), \(b_1 = 4\) → \(b_n = 4\cdot2^{n-1} = 2^{n+1}\) → \(a_n = 2^{n+1}-3\) → 정답: \(a_n = 2^{n+1}-3\)
UNIT 04 · 미분
핵심 공식 및 암기사항
\((x^n)' = nx^{n-1}\), \(\quad (e^x)' = e^x\), \(\quad (\ln x)' = \dfrac{1}{x}\)
\((\sin x)' = \cos x\), \(\quad (\cos x)' = -\sin x\)
곱의 미분: \((fg)' = f'g + fg'\)
합성함수 미분: \(\{f(g(x))\}' = f'(g(x))\cdot g'(x)\)
⚡ 반드시 암기
극값 판정: \(f'(a)=0\)이고 \(f''(a)<0\) → 극대, \(f''(a)>0\) → 극소
평균값 정리: \(f(b)-f(a) = f'(c)(b-a)\) (\(a
롤의 정리: \(f(a)=f(b)\) → \(f'(c)=0\)인 \(c\)가 \((a,b)\)에 존재
📝 예제 · EXAMPLE
\(f(x)=x^3-3x^2+2\)의 극값의 합을 구하면?
풀이: \(f'(x)=3x^2-6x=3x(x-2)=0\) → \(x=0\)(극대, 값=2), \(x=2\)(극소, 값=−2) → 극댓값+극솟값 = \(2+(-2)=0\) → 정답: \(0\)
UNIT 05 · 적분
핵심 공식 및 암기사항
\(\int x^n dx = \dfrac{x^{n+1}}{n+1} + C\) (\(n\neq-1\))
\(\int e^x dx = e^x+C\), \(\quad \int \dfrac{1}{x}dx = \ln|x|+C\)
\(\int \sin x\,dx = -\cos x+C\), \(\quad \int \cos x\,dx = \sin x+C\)
\(\int_a^b f(x)dx = F(b)-F(a)\) (\(F'=f\))
⚡ 반드시 암기
넓이: \(S = \displaystyle\int_a^b |f(x)-g(x)|\,dx\)
치환적분: \(g(x)=t\)로 놓으면 \(g'(x)dx=dt\)
부분적분: \(\int uv'\,dx = uv - \int u'v\,dx\)
📝 예제 · EXAMPLE
\(\displaystyle\int_0^{\pi} x\cos x\,dx\)를 구하면?
풀이: 부분적분 (\(u=x,\; v'=\cos x\)) → \([x\sin x]_0^\pi - \int_0^\pi \sin x\,dx = 0-[-\cos x]_0^\pi = -(cos\pi - \cos 0) = -(-1-1)=2\) 아니라 \(0-[-\cos x]_0^\pi = 0-[1-(-1)] = -2\) → 정답: \(-2\)
UNIT 06 · 확률과 통계
핵심 공식 및 암기사항
\(_nP_r = \dfrac{n!}{(n-r)!}\), \(\quad _nC_r = \dfrac{n!}{r!(n-r)!}\), \(\quad _nH_r = _{n+r-1}C_r\)
이항정리: \((a+b)^n = \displaystyle\sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} a^{n-k}b^k\)
정규분포: \(Z = \dfrac{X-\mu}{\sigma}\), \(\quad \bar{X} \sim N\!\!\left(\mu, \dfrac{\sigma^2}{n}\right)\)
⚡ 반드시 암기
조건부확률: \(P(B|A) = \dfrac{P(A\cap B)}{P(A)}\)
독립: \(P(A\cap B) = P(A)\cdot P(B)\)
표본평균의 신뢰구간: \(\bar{x} \pm z_{\alpha/2}\cdot\dfrac{\sigma}{\sqrt{n}}\) (\(95\%: z=1.96\))
📝 예제 · EXAMPLE
서로 다른 5종류의 과자 중 3개를 중복을 허락하여 고르는 경우의 수는?
풀이: 중복조합 \(_5H_3 = _{5+3-1}C_3 = _7C_3 = \dfrac{7\cdot6\cdot5}{3!} = 35\) → 정답: \(35\)
UNIT 07 · 기하
핵심 공식 및 암기사항
내적: \(\vec{a}\cdot\vec{b} = |\vec{a}||\vec{b}|\cos\theta\)
\(\vec{a}\cdot\vec{b} = a_1b_1 + a_2b_2 + a_3b_3\)
이차곡선: 타원 \(\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1\), 쌍곡선 \(\dfrac{x^2}{a^2}-\dfrac{y^2}{b^2}=1\)
포물선: \(y^2=4px\) (초점 \((p,0)\), 준선 \(x=-p\))
⚡ 반드시 암기
수직 조건: \(\vec{a}\perp\vec{b} \iff \vec{a}\cdot\vec{b}=0\)
평행 조건: \(\vec{a}\parallel\vec{b} \iff \vec{a}=k\vec{b}\) (어떤 실수 \(k\))
구의 방정식: \((x-a)^2+(y-b)^2+(z-c)^2=r^2\)
📝 예제 · EXAMPLE
타원 \(\dfrac{x^2}{16}+\dfrac{y^2}{7}=1\)의 두 초점 사이의 거리는?
풀이: \(c^2=16-7=9\) → \(c=3\) → 초점: \((\pm3, 0)\) → 두 초점 사이의 거리 \(=6\) → 정답: \(6\)